Bezeichnungen beim Überqueren eines Flusses

Ein Boot soll einen Fluss der Breite b überqueren. Dabei überlagern sich zwei Geschwindigkeiten:

• die Geschwindigkeit des Boots relativ zum Wasser v⃗_B – sie hängt vom Motor bzw. vom Ruderer ab und zeigt in die Richtung, in die der Bug zeigt (Kurs);
• die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses relativ zum Ufer v⃗_F – sie zeigt parallel zum Ufer flussabwärts.

Die Geschwindigkeit des Boots relativ zum Ufer (auch „über Grund“ oder „relativ zum Flussbett“) ist nach dem Superpositionsprinzip die Vektorsumme:

Wir legen die x-Achse entlang des Ufers flussabwärts und die y-Achse quer über den Fluss zum anderen Ufer. Die Strömung hat dann nur eine x-Komponente. Wir betrachten eine überall gleich schnelle Strömung und ein Boot, das sofort seine volle Geschwindigkeit hat.

Fall 1: Der Bug zeigt senkrecht zum Ufer (kürzeste Überfahrtszeit)

Steuert der Bootsführer das Boot immer senkrecht zum Ufer, stehen v⃗_B (quer) und v⃗_F (längs) senkrecht aufeinander. Die beiden Bewegungen laufen unabhängig voneinander ab:

• Quer zum Fluss bewegt sich das Boot gleichförmig mit v_B. Für die Strecke b braucht es nach v = s/t die Zeit

Die Strömung hat auf diese Zeit keinen Einfluss – sie bringt das Boot weder schneller noch langsamer ans andere Ufer, denn sie hat keine Komponente quer zum Fluss.

• Längs des Flusses wird das Boot während der ganzen Zeit t mit v_F flussabwärts getragen. Es landet deshalb nicht am gegenüberliegenden Punkt B, sondern um die Abdrift s versetzt am Punkt C:

• Die Geschwindigkeit über Grund ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreieck (Pythagoras), ihr Winkel β zum Ufer folgt aus dem Tangens:

Warum gilt auch tan β = b/s? Das Boot legt quer die Strecke b = v_B · t und längs die Strecke s = v_F · t zurück. Das Wegdreieck (b, s, Bahn) entsteht also aus dem Geschwindigkeitsdreieck durch Multiplikation aller Seiten mit t – beide Dreiecke sind ähnlich und haben dieselben Winkel. Das Boot fährt auf einer Geraden von A nach C; ihre Länge ist d = v · t = √(b² + s²).

Fall 2: Genau gegenüber anlegen (Vorhalten gegen die Strömung)

Soll das Boot genau am gegenüberliegenden Punkt B ankommen, muss die resultierende Geschwindigkeit v⃗ senkrecht zum Ufer zeigen. Der Bootsführer muss den Bug dazu um einen Winkel gegen die Strömung drehen („vorhalten“). Wir messen den Kurswinkel α zwischen Bootsachse und Ufer in Richtung flussaufwärts (Abb. 1.9).

1. Die Bootsgeschwindigkeit hat dann die Komponente v_B · cos α flussaufwärts und die Komponente v_B · sin α quer über den Fluss (Zerlegung wie in Lerneinheit 1).
2. Damit das Boot nicht abgetrieben wird, muss die Komponente flussaufwärts die Strömung genau aufheben: v_B · cos α = v_F, also

3. Zum Überqueren bleibt nur noch die Querkomponente. Im Geschwindigkeitsdreieck ist v_B die Hypotenuse, v_F und v sind die Katheten. Pythagoras: v_B² = v_F² + v², also

Beliebiger Kurs

Für einen beliebigen Kurswinkel α (zwischen Bootsachse und Ufer, flussaufwärts gemessen) lauten die Komponenten der Geschwindigkeit über Grund (x flussabwärts, y quer):

Für α = 90° ist cos α = 0 und sin α = 1 – man erhält Fall 1. Für cos α = v_F/v_B wird die x-Komponente null – das ist Fall 2. Ist α größer als 90°, zeigt der Bug schräg flussabwärts: Das Boot braucht länger und wird noch weiter abgetrieben. Probiere es in der Simulation oben aus.

Wenn die Strömung schneller ist als das Boot

Nach (1.39e) kann das Boot nur dann genau gegenüber ankommen, wenn cos α = v_F/v_B höchstens 1 ist, also v_F < v_B. Anschaulich: Die Komponente flussaufwärts kann höchstens v_B groß sein. Bei v_F = v_B müsste der Bug genau flussaufwärts zeigen (α = 0°) – dann bleibt für die Querbewegung nichts übrig, das Boot käme nie an. Bei v_F > v_B wird das Boot in jedem Fall abgetrieben.

Wie klein kann die Abdrift dann höchstens werden? Alle möglichen Spitzen von v⃗ = v⃗_F + v⃗_B liegen auf einem Kreis mit Radius v_B um die Spitze von v⃗_F (Abb. 1.10). Die Bahn ist am steilsten, wenn v⃗ den Kreis gerade berührt (Tangente). Eine Tangente steht senkrecht auf dem Radius, also stehen v⃗_B und v⃗ senkrecht aufeinander, und v⃗_F ist die Hypotenuse:

sin φ = v_B / v_F (Steigungswinkel der Bahn zum Ufer), cos α = v_B / v_F (Kurswinkel), s_min = b / tan φ = b · √(v_F² − v_B²) / v_B