Aufgabe 3.4
Schwimmen in starker Strömung
★★★Ein Schwimmer will einen 60 m breiten Fluss durchqueren. Er schwimmt mit 1,0 m/s relativ zum Wasser, der Fluss strömt mit 1,5 m/s.
a) Kann er genau am gegenüberliegenden Punkt ankommen?
Vergleiche die Schwimmgeschwindigkeit mit der Strömungsgeschwindigkeit.
Nein. Selbst wenn er genau flussaufwärts schwimmt, ist seine Geschwindigkeit gegen die Strömung (1,0 m/s) kleiner als die Strömung (1,5 m/s). Er wird in jedem Fall abgetrieben.
b) Er schwimmt senkrecht zum Ufer. Wie lange braucht er, und wie weit wird er abgetrieben?
t = b / vS, s = vF · t
t = 60 m / 1,0 m/s = 60 s (die kürzestmögliche Zeit), s = 1,5 m/s · 60 s = 90 m
c) Er möchte möglichst wenig abgetrieben werden. Unter welchem Winkel zum Ufer (flussaufwärts gemessen) muss er schwimmen, und wie groß ist die Abdrift dann?
Zeichne die möglichen Spitzen der Resultierenden: ein Kreis mit Radius vS um die Spitze von v⃗F.
Die steilste Bahn berührt den Kreis: v⃗S steht dann senkrecht auf der Resultierenden, vF ist die Hypotenuse.
cos α = vS / vF; Steigungswinkel der Bahn sin φ = vS / vF; s = b / tan φ
Die Resultierende ist am steilsten, wenn sie Tangente an den Kreis ist. Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse vF:
Kurswinkel: cos α = vS/vF = 1,0/1,5 ⇒ α ≈ 48,2°
Steigungswinkel der Bahn: sin φ = 1,0/1,5 ⇒ φ ≈ 41,8°, smin = b/tan φ = 60 m · √(1,5² − 1,0²)/1,0 ≈ 67,1 m
Kontrolle mit Komponenten: quer 1,0 · sin 48,2° ≈ 0,7454 m/s ⇒ t ≈ 80,5 s; längs 1,5 − 1,0 · cos 48,2° ≈ 0,8333 m/s ⇒ s ≈ 67,1 m ✓. Er spart 23 m Abdrift, braucht aber 20 s länger.
Kurswinkel: cos α = vS/vF = 1,0/1,5 ⇒ α ≈ 48,2°
Steigungswinkel der Bahn: sin φ = 1,0/1,5 ⇒ φ ≈ 41,8°, smin = b/tan φ = 60 m · √(1,5² − 1,0²)/1,0 ≈ 67,1 m
Kontrolle mit Komponenten: quer 1,0 · sin 48,2° ≈ 0,7454 m/s ⇒ t ≈ 80,5 s; längs 1,5 − 1,0 · cos 48,2° ≈ 0,8333 m/s ⇒ s ≈ 67,1 m ✓. Er spart 23 m Abdrift, braucht aber 20 s länger.