Vektoren und Skalare

Ein Körper kann sich im Allgemeinen in unterschiedliche Richtungen bewegen: nach links, rechts, oben, unten oder beliebig schräg. Je nachdem findet auch die Positionsänderung in die entsprechende Richtung statt. Geschwindigkeiten haben also offensichtlich eine Richtung, die mit der Richtung der Positionsänderung übereinstimmt.

Physikalische Größen, die neben einem Betrag auch eine Richtung aufweisen, nennt man Vektoren. Hierzu zählen unter anderem Geschwindigkeiten und Positionsänderungen, aber auch Beschleunigungen und Kräfte. Wegen ihrer Richtungseigenschaft heißen Vektoren auch gerichtete Größen. Um den Vektorcharakter einer Größe zu verdeutlichen, zeichnet man häufig einen (Halb-)Pfeil über das Formelzeichen: v⃗. Schreibt man das Formelzeichen ohne Pfeil (v) oder in Betragsstrichen (|v⃗|), ist nur der Betrag gemeint – also die Länge des Pfeils, ohne Richtung.

Geschwindigkeitsvektoren werden anschaulich durch Pfeile dargestellt: Die Länge des Pfeils gibt den Betrag der Geschwindigkeit an (in einem festgelegten Maßstab, z. B. 1 cm ≙ 0,5 m/s), die Pfeilrichtung legt die Richtung der Geschwindigkeit fest.

Größen, die keine Richtung haben, sondern nur durch einen Betrag beschrieben werden, nennt man Skalare. Einer Temperatur lässt sich zum Beispiel keine Richtung zuweisen, ebenso wenig einer Masse oder einer Energie. Sie zählen deshalb zu den skalaren Größen.

Überlagerung von Geschwindigkeiten – das Superpositionsprinzip

Bewegt sich auf einem strömenden Fluss ein Boot, auf dem sich zusätzlich noch eine Person bewegt, so hat man es insgesamt mit drei Geschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeitsvektoren zu tun:

• Geschwindigkeit der Person v⃗₁ (relativ zum Boot),
• Strömungsgeschwindigkeit des Flusses v⃗₂ (relativ zum Ufer),
• Geschwindigkeit des Boots v⃗₃ (relativ zum Wasser).

Je nach Richtung und Größe der einzelnen Geschwindigkeiten überlagern sich diese zu einer resultierenden Gesamtgeschwindigkeit v⃗_res. Das ist die Geschwindigkeit, mit der ein stillstehender Beobachter die Bewegung der Person aus der Vogelperspektive tatsächlich wahrnimmt – zum Beispiel eine Drohne, die über dem Fluss in der Luft steht. Das Prinzip der Überlagerung einzelner physikalischer Größen zu einer resultierenden Gesamtgröße nennt sich Superpositionsprinzip.

Liegen alle Geschwindigkeiten auf einer Linie, genügt es, sie mit Vorzeichen zu addieren (das kennst du aus dem Thema Geschwindigkeit, Lerneinheit 5). Hier zeigen die Geschwindigkeiten aber in verschiedene Richtungen der Ebene – die Person läuft quer über das Deck, während das Boot entlang des Flusses fährt.

Vektoraddition: Pfeile aneinanderhängen

Um die resultierende Geschwindigkeit zu ermitteln, dürfen die einzelnen Beträge der Geschwindigkeiten nicht einfach addiert oder subtrahiert werden. Vielmehr muss explizit die Richtung berücksichtigt werden. Das geschieht, indem man die einzelnen Geschwindigkeitspfeile maßstabsgetreu hintereinanderhängt: Der nächste Pfeil beginnt jeweils an der Spitze des vorherigen, seine Länge und Richtung bleiben dabei unverändert (er wird nur parallel verschoben). Diese Pfeiladdition heißt Vektoraddition. Der Verbindungspfeil vom Anfangspunkt des ersten Pfeils zum Endpunkt des letzten Pfeils ist die resultierende Geschwindigkeit v⃗_res:

Die Reihenfolge, in der die Geschwindigkeitspfeile aneinandergehängt werden, hat keinen Einfluss auf Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit. Das sieht man in Abb. 1.2: Gleichgültig, ob man mit v⃗₁ oder mit v⃗₃ beginnt – man landet immer am selben Endpunkt, denn in jeder Reihenfolge legt man insgesamt dieselben Strecken nach rechts, links, oben und unten zurück.

Sonderfall: zwei Geschwindigkeiten stehen senkrecht aufeinander

Besonders häufig stehen zwei Geschwindigkeiten im rechten Winkel zueinander – etwa die Geschwindigkeit eines Boots quer über den Fluss und die Strömung entlang des Flusses. Hängt man die beiden Pfeile aneinander, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: Die beiden Geschwindigkeiten sind die Katheten, die Resultierende ist die Hypotenuse. Dann lässt sich die Resultierende auch rechnerisch bestimmen:

1. Betrag mit dem Satz des Pythagoras (Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²): v_res² = v₁² + v₂², also

2. Richtung über den Tangens: Der Winkel α zwischen v⃗_res und v⃗₁ liegt im Dreieck an v⃗₁ (Ankathete), gegenüber liegt v⃗₂ (Gegenkathete):

Vektorzerlegung

Geschwindigkeiten können nicht nur überlagert, d. h. addiert, sondern auch zerlegt werden. Wird die resultierende Bewegung der Person nicht mehr aus der Vogelperspektive beschrieben, sondern aus Sicht eines am Ufer stehenden Beobachters, so sieht die Bewegung – und damit die Geschwindigkeit – aus dieser Sicht anders aus. Für diesen Beobachter bewegt sich die Person in Abb. 1.3 lediglich in x-Richtung (parallel zum Ufer; die Perspektive wird vernachlässigt – ob die Person näher kommt oder sich entfernt, kann er nicht erkennen). Folglich scheint sich die Person nur mit der Geschwindigkeitskomponente v⃗_res,x zu bewegen.

Für einen Beobachter, der dagegen senkrecht zum Ufer blickt – zum Beispiel von einer Brücke flussabwärts –, scheint sich die Person lediglich in y-Richtung zu bewegen (Perspektive wieder vernachlässigt). Dieser Beobachter nimmt nur die Geschwindigkeitskomponente v⃗_res,y wahr.

Beide zerlegten Geschwindigkeitskomponenten v⃗_res,x und v⃗_res,y ergeben vektoriell zusammenaddiert wieder die ursprüngliche resultierende Geschwindigkeit:

Im Musterbeispiel sieht der Beobachter am Ufer die Person mit v_res,x = 2,0 m/s flussaufwärts gehen, der Beobachter auf der Brücke sieht sie mit v_res,y = 1,2 m/s quer über den Fluss laufen. Beachte: 2,0 m/s + 1,2 m/s = 3,2 m/s ist nicht die Geschwindigkeit der Person – die Komponenten müssen als Pfeile addiert werden (Pythagoras: 2,33 m/s).

Komponenten mit Sinus und Kosinus berechnen

Kennt man Betrag v und Richtungswinkel α eines Geschwindigkeitsvektors (gemessen von der x-Achse aus), so lassen sich die Komponenten im rechtwinkligen Dreieck aus Abb. 1.4 berechnen. Der Vektor ist die Hypotenuse, die x-Komponente die Ankathete und die y-Komponente die Gegenkathete von α:

1. Kosinus = Ankathete / Hypotenuse: cos α = v_x / v ⇒ mit v multiplizieren:

2. Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse: sin α = v_y / v ⇒

Umgekehrt erhält man aus den Komponenten wieder Betrag und Richtung (Pythagoras und Tangens):