Komponentenschreibweise

Das zeichnerische Aneinanderhängen von Pfeilen ist anschaulich, aber ungenau und bei vielen Vektoren mühsam. In der Mathematik gibt man Vektoren deshalb häufig in der sogenannten Komponentenschreibweise an: Der Vektor wird im Zweidimensionalen durch seine Komponenten in x- und in y-Richtung ausgedrückt (siehe Vektorzerlegung in Lerneinheit 1). Die Komponenten werden untereinander geschrieben und in runde Klammern gesetzt.

In dieser Schreibweise lautet zum Beispiel der Geschwindigkeitsvektor v⃗₁ in Abb. 1.6:

Ein Körper mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich folglich mit 25 m/s in positive x-Richtung und gleichzeitig mit einer betragsmäßigen Geschwindigkeit von 30 m/s in negative y-Richtung. Das Vorzeichen einer Komponente gibt also an, ob der Vektor in die positive oder in die negative Achsenrichtung zeigt. Entsprechend lassen sich die anderen Geschwindigkeitsvektoren in Abb. 1.6 in Komponentenschreibweise ausdrücken:

Vektoren komponentenweise addieren

Betrachtet man die Vektoraddition in Abb. 1.6 genauer, fällt auf: Die x-Komponente des resultierenden Vektors ergibt sich gerade aus der Summe der x-Komponenten der einzelnen Vektoren. Beim Aneinanderhängen geht man nämlich zuerst 25 nach rechts, dann 40 nach rechts und dann 50 nach links – insgesamt also 25 + 40 − 50 = 15 nach rechts. Dasselbe gilt für die y-Komponente: 30 nach unten, 20 nach unten, 20 nach unten, insgesamt 70 nach unten. In der Komponentenschreibweise werden die Vektoren also einfach zeilenweise addiert:

Der resultierende Geschwindigkeitsvektor hat somit eine Komponente von 15 m/s in positive x-Richtung und eine Komponente von betragsmäßig 70 m/s in negative y-Richtung.

Der Gesamtbetrag der Geschwindigkeit ergibt sich über den Satz des Pythagoras aus den Komponenten, denn x- und y-Komponente stehen immer senkrecht aufeinander:

Das Vorzeichen spielt beim Quadrieren keine Rolle: (−70)² = 4900. Die Richtung erhält man wie in Lerneinheit 1 mit dem Tangens. Weil v_res,y negativ ist, zeigt der Vektor unter die x-Achse:

tan α = v_res,y / v_res,x = −70 / 15 ⇒ α ≈ −77,9°, also 77,9° unterhalb der positiven x-Achse.

Vektoren subtrahieren

Oft ist nicht die Resultierende gesucht, sondern einer der Einzelvektoren – etwa die Eigengeschwindigkeit eines Flugzeugs, wenn die Geschwindigkeit über Grund (GPS) und der Wind bekannt sind. Man stellt die Vektorgleichung wie eine normale Gleichung um und rechnet wieder zeilenweise. Den Gegenvektor −v⃗ erhält man, indem man beide Komponenten mit −1 multipliziert: Er ist gleich lang, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.

Beispiel: v⃗_res = v⃗₁ + v⃗₂ ⇒ v⃗₂ = v⃗_res − v⃗₁. Mit den Werten oben: 15−70 − 25−30 = 15 − 25−70 − (−30) = −10−40 m/s.

Dreidimensionale Vektoren

Im dreidimensionalen Fall besitzen die Geschwindigkeitsvektoren entsprechend drei Zeileneinträge. Sie stehen für die Geschwindigkeitskomponenten in die drei Raumrichtungen x, y und z:

Der Betrag der Geschwindigkeit bestimmt sich über die Erweiterung des Satzes des Pythagoras um einen weiteren Term. Herleitung in zwei Schritten (Abb. 1.7):

1. Die Komponenten v_x und v_y liegen in der waagrechten Ebene und stehen senkrecht aufeinander. Ihre Resultierende (die Diagonale der Grundfläche) hat den Betrag v_xy = √(v_x² + v_y²).
2. Die z-Komponente steht senkrecht auf der ganzen Grundfläche, also auch auf dieser Diagonale. Noch einmal Pythagoras: v² = v_xy² + v_z² = v_x² + v_y² + v_z².