Aufgabe 3.2
Motorboot
★★☆Ein Motorboot überquert mit einer Geschwindigkeit von vB = 2,5 m/s (relativ zum Wasser) einen 150 m breiten Fluss. Das Boot fährt dabei vom Punkt A ab und wird senkrecht zum Ufer gesteuert. Während der Überfahrt wird es um insgesamt 60 m abgetrieben und kommt am Punkt C an.
a) Wie lange dauert die Überfahrt von A nach C?
Die Strömung hat keinen Einfluss auf die Bewegung quer zum Fluss.
t = b/vB = 150 m / 2,5 m/s = 60 s
b) Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses?
In den 60 s wird das Boot 60 m flussabwärts getragen.
vF = s/t = 60 m / 60 s = 1,0 m/s
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Boots über Grund?
Pythagoras mit vB und vF.
v = √(2,5² + 1,0²) m/s = √7,25 m/s ≈ 2,69 m/s
d) Unter welchem Winkel zum Ufer bewegt sich das Boot?
tan β = vB / vF (oder b / s)
tan β = 2,5 / 1,0 ⇒ β ≈ 68,2° zum Ufer (flussabwärts). Kontrolle: arctan(150/60) ≈ 68,2° ✓
e) Unter welchem Winkel zum Ufer müsste das Boot gesteuert werden, damit es den Fluss senkrecht zum Ufer überquert (also genau gegenüber von A ankommt)?
Die Komponente von v⃗B flussaufwärts muss die Strömung genau aufheben.
vB · cos α = vF
cos α = vF/vB = 1,0/2,5 = 0,4 ⇒ α ≈ 66,4° zum Ufer, flussaufwärts gemessen (der Bug zeigt also um 23,6° gegen die Strömung gedreht).
f) Wie groß wäre in diesem Fall die Geschwindigkeit über Grund, und wie lange würde die Überfahrt dauern?
vB ist jetzt die Hypotenuse, vF und v sind die Katheten.
t = b / v
v = √(vB² − vF²) = √(2,5² − 1,0²) m/s = √5,25 m/s ≈ 2,29 m/s
t = 150 m / 2,291 m/s ≈ 65,5 s – etwa 5,5 s länger als mit senkrechtem Kurs.
t = 150 m / 2,291 m/s ≈ 65,5 s – etwa 5,5 s länger als mit senkrechtem Kurs.
g) Bei welchen Geschwindigkeitsverhältnissen wäre es nicht mehr möglich, den Fluss senkrecht zum Ufer zu überqueren?
Wie groß kann die Komponente von v⃗B gegen die Strömung höchstens werden?
Die Komponente flussaufwärts vB · cos α ist höchstens vB (bei α = 0°). Die Bedingung cos α = vF/vB ist nur für vF ≤ vB erfüllbar, und bei Gleichheit bliebe für die Querbewegung nichts übrig (√(vB² − vF²) = 0). Also ist es unmöglich, wenn die Strömung mindestens so schnell ist wie das Boot (vF ≥ vB).