Zusammengesetzte Fallprobleme

In vielen Aufgaben ist der freie Fall nur ein Teil eines Vorgangs: Nach dem Fall muss noch der Schall zurücklaufen, ein Körper bremst im Boden ab, oder ein zweiter Körper bewegt sich gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Strategie ist immer dieselbe:

1. Den Vorgang in Abschnitte zerlegen, in denen jeweils eine einfache Bewegung vorliegt (freier Fall, gleichförmige Bewegung, gleichmäßiges Abbremsen).
2. Für jeden Abschnitt die passende Gleichung aufschreiben.
3. Die Abschnitte über die gemeinsamen Größen verknüpfen: Die Endgeschwindigkeit des einen Abschnitts ist die Anfangsgeschwindigkeit des nächsten, Zeiten addieren sich, Strecken sind gleich.

Beispiel 1: Wie tief ist der Brunnen?

In einen Brunnen wird ein Stein fallen gelassen. Nach T = 2,45 s hört man, wie er auf das Wasser trifft. Wie tief ist der Brunnen? Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Ohne Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit geht man davon aus, dass der Stein die ganzen 2,45 s fällt:

Mit Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit (v_S = 340 m/s): Der Schall braucht selbst eine gewisse Zeit, um von der Wasseroberfläche nach oben zu unserem Ohr zu gelangen. Der Stein muss das Wasser also schon vor Ablauf der 2,45 s erreicht haben. Die tatsächliche Falldauer ist kürzer – und der Brunnen deshalb weniger tief als eben berechnet.

Die gemessene Zeit ist die Summe aus Falldauer t_F und Schalllaufzeit t_S: T = t_F + t_S. Der Schall legt dabei die Brunnentiefe h mit der konstanten Geschwindigkeit v_S zurück, also ist t_S = h/v_S. Damit gilt für die Falldauer:

Diese Falldauer setzen wir in die Formel für die Fallstrecke ein und formen Schritt für Schritt um:

1. h = ½ · g · t_F² = ½ · g · (T − h/v_S)²
2. Klammer mit der 2. binomischen Formel (a − b)² = a² − 2ab + b² auflösen: h = ½ · g · (T² − 2 · T · h/v_S + h²/v_S²)
3. Beide Seiten mit 2/g multiplizieren: 2h/g = T² − 2Th/v_S + h²/v_S²
4. Beide Seiten mit v_S² multiplizieren: 2h · v_S²/g = T² · v_S² − 2 T v_S · h + h²
5. Alles auf eine Seite bringen und nach Potenzen von h ordnen (Normalform h² + p · h + q = 0):

Es ist also p = −(2 T v_S + 2v_S²/g) und q = T² v_S². Mit den Zahlenwerten in Grundeinheiten (die Einheiten lassen wir hier ausnahmsweise weg):

p = −(2 · 2,45 · 340 + 2 · 340² / 9,81) = −(1666 + 23 567,8) = −25 233,8
q = 2,45² · 340² = 693 889

Die pq-Formel h = −p/2 ± √((p/2)² − q) liefert zwei mathematische Lösungen:

h = 12 616,89 ± √(12 616,89² − 693 889) = 12 616,89 ± 12 589,37

Die Lösung mit „+“ (über 25 km!) ist physikalisch unsinnig – sie würde zu einer negativen Falldauer führen. Sinnvoll ist nur die Lösung mit dem Minuszeichen:

Der Brunnen ist also in Wirklichkeit etwa 1,9 m weniger tief als ohne Schall berechnet. Kontrolle: t_S = 27,53 m / 340 m/s ≈ 0,081 s, t_F = √(2 · 27,53 m / 9,81 m/s²) ≈ 2,369 s, Summe 2,45 s ✓.

Bei kurzen Zeiten (flache Brunnen) kann man die Schalllaufzeit vernachlässigen; bei tiefen Brunnen wird der Fehler schnell groß.

Beispiel 2: Fall und anschließendes Abbremsen

Fällt ein Körper aus der Höhe h und wird dann auf der Strecke d gleichmäßig abgebremst (z. B. ein Pfahl, der in den Boden eindringt, oder ein Springer, der ins Wasser eintaucht), verknüpft die Aufprallgeschwindigkeit die beiden Abschnitte:

• Freier Fall: v_A = √(2gh)
• Abbremsen aus v_A bis zum Stillstand auf der Strecke d mit der Verzögerung a (Thema 1.2, Lerneinheit 6): d = v_A²/(2a), Bremszeit t_B = v_A/a.

Kennt man vom Abbremsen die Strecke d und die Dauer t_B, hilft die „Film-Rückwärts-Methode“: Spielt man den Bremsvorgang rückwärts ab, ist er eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe. Dann gilt d = ½ · a · t_B², also a = 2d/t_B², und v_A = a · t_B.

Beispiel 3: Zwei Körper gleichzeitig – wann sind sie gleichauf?

Bewegen sich zwei Körper gleichzeitig (z. B. ein fallender Ball und ein Modellfallschirm, der mit konstanter Geschwindigkeit sinkt), stellt man für beide die Bewegungsgleichungen im selben Koordinatensystem auf. Sie sind gleichauf, wenn ihre Positionen übereinstimmen: s₁(t) = s₂(t). Gleich schnell sind sie, wenn v₁(t) = v₂(t) gilt. Beim freien Fall entstehen dabei meist quadratische Gleichungen, die man mit der pq-Formel löst – so wie bei den Treffpunkten im Thema 1.2 (Lerneinheit 7).