Warum brauchen wir ein Koordinatensystem?

Die Formeln v = g · t und s = ½ · g · t² aus Lerneinheit 1 gelten nur, wenn man die Fallstrecke vom Punkt des Loslassens aus nach unten misst. Oft interessiert aber die Höhe über dem Boden. Um Bewegungen eindeutig zu beschreiben, legen wir deshalb – wie im Thema 1.2 (Lerneinheit 7) – ein Koordinatensystem fest: einen Ursprung (Nullpunkt) und eine positive Richtung.

Weil der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist, gelten die allgemeinen Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung:

Darin sind s₀ die Anfangsposition und v₀ die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Beim freien Fall setzt man für die Beschleunigung a den Betrag g ein – mit dem Vorzeichen, das sich aus dem gewählten Koordinatensystem ergibt. Wir betrachten zwei übliche Möglichkeiten am Beispiel eines Apfels, der aus der Höhe h vom Baum fällt.

Koordinatensystem 1: Ursprung beim Loslassen, nach unten positiv

Der Ursprung liegt im Punkt des Loslassens, die Achse zeigt in Fallrichtung nach unten. Wir beschreiben also die Fallstrecke.

• Die Fallbeschleunigung zeigt nach unten, also in positive Richtung: a = +g.
• Der Apfel wird aus der Ruhe losgelassen: v₀ = 0.
• Zum Zeitpunkt t = 0 ist er im Ursprung: s₀ = 0.

Eingesetzt in die allgemeinen Gleichungen:

Falldauer. Gesucht ist die Zeit t_F, nach der der Apfel die Fallhöhe h zurückgelegt hat. Das ist unsere Bedingung (das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen bedeutet „soll gleich sein“):

1. s(t_F) ≝ h ⇒ ½ · g · t_F² = h
2. Beide Seiten mit 2 multiplizieren und durch g teilen: t_F² = 2h/g
3. Wurzel ziehen (nur die positive Lösung ist sinnvoll, denn die Zeit läuft ab dem Loslassen vorwärts):

Aufprallgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit beim Auftreffen ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t_F. Wir setzen die Falldauer in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz ein:

1. v_A = v(t_F) = g · t_F = g · √(2h/g)
2. Trick: Wir schreiben g als Wurzel aus g², also g = √(g²). Damit steht alles unter einer gemeinsamen Wurzel: v_A = √(g² · 2h/g)
3. Ein g kürzt sich gegen das g im Nenner:

Das ist dieselbe Formel wie v = √(2 · a · s) aus dem Thema Beschleunigung – mit a = g und s = h.

Koordinatensystem 2: Ursprung am Boden, nach oben positiv

Nun liegt der Ursprung auf dem Boden, und die Achse zeigt nach oben. Die Koordinate s beschreibt jetzt die Höhe über dem Boden (man schreibt dafür oft auch h).

• Die Fallbeschleunigung zeigt weiterhin nach unten – jetzt entgegen der positiven Richtung: a = −g.
• Der Apfel startet wieder aus der Ruhe: v₀ = 0.
• Zum Zeitpunkt t = 0 befindet er sich in der Höhe h: s₀ = h.

Man kann entweder g als negativen Wert (g = −9,81 m/s²) in die allgemeine Gleichung einsetzen oder – wie hier – mit dem positiven Wert g = 9,81 m/s² rechnen und dafür ein Minuszeichen vor den Beschleunigungsterm schreiben. Beides ist gleichwertig; man darf es nur nicht doppelt machen.

Falldauer. Jetzt fragen wir: Wann erreicht der Apfel den Boden, also die Position s = 0?

1. s(t_F) ≝ 0 ⇒ h − ½ · g · t_F² = 0
2. ½ · g · t_F² = h ⇒ t_F = √(2h/g) – dieselbe Formel wie in KS 1.

Das ist auch nicht verwunderlich: Die Falldauer ist eine physikalische Tatsache und darf nicht davon abhängen, wie wir das Koordinatensystem wählen.

Aufprallgeschwindigkeit. v_A = v(t_F) = −g · t_F = −√(2gh). Der Betrag ist derselbe wie in KS 1, aber das Vorzeichen ist negativ: Der Apfel bewegt sich nach unten, also entgegen der positiven Richtung. Im KS 2 ist die Geschwindigkeit während des ganzen Falls negativ.

Musterbeispiel und Plausibilitätswerte

Plausibilität: Wer vom 10-m-Turm springt, ist nach 1,4 s im Wasser und hat dann rund 50 km/h. Ein Sturz aus 3 m Höhe (etwa ein Stockwerk) entspricht einem Aufprall mit knapp 28 km/h.