Aufgabe 2.1
Ball aus 10 m Höhe
Ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 aus der Höhe h0 = 10 m fallengelassen. Der Ball ist als Punktmasse anzusehen, die Luftreibung wird zunächst vernachlässigt. Rechne mit g = 10 m/s².
a) Stelle die Bewegungsgleichungen s(t) und v(t) bezüglich KS 1 auf. Auf welcher Höhe über dem Boden befindet sich der Ball nach t = 0,5 s, und welche Geschwindigkeit (im KS 1) hat er dabei?
KS 1: a = +g, v₀ = 0, s₀ = 0 ⇒ s(t) = ½ · g · t², v(t) = g · t.
s(0,5 s) ist die Fallstrecke – die Höhe über dem Boden ist h₀ − s.
KS 1: s(t) = ½ · 10 m/s² · t² = 5 m/s² · t², v(t) = 10 m/s² · t
s(0,5 s) = 5 m/s² · 0,25 s² = 1,25 m Fallstrecke ⇒ Höhe über dem Boden 10 m − 1,25 m = 8,75 m
v(0,5 s) = 10 m/s² · 0,5 s = 5 m/s (positiv, also nach unten)
s(0,5 s) = 5 m/s² · 0,25 s² = 1,25 m Fallstrecke ⇒ Höhe über dem Boden 10 m − 1,25 m = 8,75 m
v(0,5 s) = 10 m/s² · 0,5 s = 5 m/s (positiv, also nach unten)
b) Nach welcher Zeit tA und mit welcher Geschwindigkeit vA (im KS 1) trifft der Ball auf den Boden?
Im KS 1 ist der Boden bei s = 10 m.
5 m/s² · t² = 10 m ⇒ t² = 2 s².
s(tA) ≝ 10 m ⇒ 5 m/s² · tA² = 10 m ⇒ tA = √(2 s²) ≈ 1,41 s
vA = 10 m/s² · 1,414 s ≈ 14,1 m/s (Kontrolle: √(2 · 10 m/s² · 10 m) = √200 m/s ≈ 14,1 m/s ✓)
vA = 10 m/s² · 1,414 s ≈ 14,1 m/s (Kontrolle: √(2 · 10 m/s² · 10 m) = √200 m/s ≈ 14,1 m/s ✓)
c) Stelle die Bewegungsgleichungen bezüglich KS 2 auf. Welche Werte liefert KS 2 für die Position und die Geschwindigkeit nach 0,5 s?
KS 2: a = −g, v₀ = 0, s₀ = +10 m.
s(t) = 10 m − 5 m/s² · t², v(t) = −10 m/s² · t. Achte auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit!
KS 2: s(t) = 10 m − ½ · 10 m/s² · t² = 10 m − 5 m/s² · t², v(t) = −10 m/s² · t
s(0,5 s) = 10 m − 1,25 m = 8,75 m – im KS 2 ist die Koordinate direkt die Höhe über dem Boden.
v(0,5 s) = −5 m/s: gleicher Betrag wie in a), aber negativ, weil der Ball entgegen der positiven Richtung (nach unten) fällt.
s(0,5 s) = 10 m − 1,25 m = 8,75 m – im KS 2 ist die Koordinate direkt die Höhe über dem Boden.
v(0,5 s) = −5 m/s: gleicher Betrag wie in a), aber negativ, weil der Ball entgegen der positiven Richtung (nach unten) fällt.
d) Bestimme im KS 2 die Aufprallzeit und die Aufprallgeschwindigkeit.
Am Boden gilt im KS 2: s = 0.
s(tA) ≝ 0 ⇒ 10 m − 5 m/s² · tA² = 0 ⇒ tA = √2 s ≈ 1,41 s (wie in KS 1)
vA = −10 m/s² · 1,414 s ≈ −14,1 m/s
vA = −10 m/s² · 1,414 s ≈ −14,1 m/s
e) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf den Kopf eines 1,80 m großen Fußballers, der genau darunter steht? Rechne im KS 2.
Bedingung: s(t) = 1,80 m. Bestimme daraus zuerst die Zeit.
10 m − 5 m/s² · t² = 1,8 m ⇒ t² = 1,64 s².
10 m − 5 m/s² · t² = 1,8 m ⇒ t² = 8,2 m / 5 m/s² = 1,64 s² ⇒ t ≈ 1,281 s
v = −10 m/s² · 1,281 s ≈ −12,8 m/s (≈ 46 km/h nach unten)
Kontrolle mit der Fallstrecke 8,2 m: √(2 · 10 m/s² · 8,2 m) = √164 m/s ≈ 12,8 m/s ✓
v = −10 m/s² · 1,281 s ≈ −12,8 m/s (≈ 46 km/h nach unten)
Kontrolle mit der Fallstrecke 8,2 m: √(2 · 10 m/s² · 8,2 m) = √164 m/s ≈ 12,8 m/s ✓
f) Zeichne die reibungsfreie Bewegung des Balls im KS 2 quantitativ in ein Zeit-Positions- und ein Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (0 … 1,6 s). Skizziere zusätzlich qualitativ, wie die Graphen mit Luftreibung aussehen würden.
Das h(t)-Diagramm ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei (0 | 10 m), das v(t)-Diagramm eine fallende Ursprungsgerade.
Mit Luftreibung wächst der Betrag der Geschwindigkeit immer langsamer; der Ball kommt später unten an.
Ohne Reibung (durchgezogen): Parabel h(t) = 10 m − 5 m/s² · t² von 10 m bis 0 bei 1,41 s; Gerade v(t) = −10 m/s² · t bis −14,1 m/s.
Mit Luftreibung (gestrichelt, qualitativ): Der Betrag der Geschwindigkeit steigt anfangs gleich, dann immer langsamer (die Kurve wird flacher). Die Höhe nimmt dadurch langsamer ab – der Ball landet später und mit kleinerer Geschwindigkeit.
Mit Luftreibung (gestrichelt, qualitativ): Der Betrag der Geschwindigkeit steigt anfangs gleich, dann immer langsamer (die Kurve wird flacher). Die Höhe nimmt dadurch langsamer ab – der Ball landet später und mit kleinerer Geschwindigkeit.