Aufgabe 2.2
Formeln selbst herleiten
Ein Körper fällt aus der Höhe h aus der Ruhe. Leite aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung die Formeln für die Falldauer tF und die Aufprallgeschwindigkeit vA her.
a) Leite die Formeln im Koordinatensystem mit Ursprung im Punkt des Loslassens und positiver Richtung nach unten her.
Setze a = +g, v₀ = 0, s₀ = 0 in s(t) und v(t) ein.
Bedingung: s(tF) = h. Für vA setze tF in v(t) ein und schreibe g = √(g²).
s(t) = ½gt², v(t) = gt
½ g tF² = h ⇒ tF² = 2h/g ⇒ tF = √(2h/g)
vA = g · tF = √(g²) · √(2h/g) = √(g² · 2h/g) = √(2gh)
½ g tF² = h ⇒ tF² = 2h/g ⇒ tF = √(2h/g)
vA = g · tF = √(g²) · √(2h/g) = √(g² · 2h/g) = √(2gh)
b) Leite die Formeln im Koordinatensystem mit Ursprung am Boden und positiver Richtung nach oben her. Was ist anders?
Jetzt ist a = −g und s₀ = h.
Bedingung am Boden: s(tF) = 0.
s(t) = h − ½gt², v(t) = −gt
h − ½ g tF² = 0 ⇒ tF = √(2h/g) – gleiche Falldauer.
vA = −g · tF = −√(2gh) – gleicher Betrag, aber negatives Vorzeichen, weil die Bewegung entgegen der positiven Richtung verläuft.
h − ½ g tF² = 0 ⇒ tF = √(2h/g) – gleiche Falldauer.
vA = −g · tF = −√(2gh) – gleicher Betrag, aber negatives Vorzeichen, weil die Bewegung entgegen der positiven Richtung verläuft.
c) Die Fallhöhe wird vervierfacht. Um welchen Faktor ändert sich die Aufprallgeschwindigkeit?
vA ist proportional zu √h.
vA' = √(2g · 4h) = √4 · √(2gh) = 2 · vA – die Aufprallgeschwindigkeit verdoppelt sich nur (ebenso die Falldauer).