Schwere Körper fallen schneller – oder?

Die Alltagserfahrung scheint eindeutig: Lässt man eine schwere Metallkugel und ein Blatt Papier gleichzeitig aus derselben Höhe fallen, ist die Kugel viel früher am Boden. Das Blatt segelt langsam hin und her. Daraus könnte man schließen, dass schwere Körper schneller fallen als leichte.

Ein kleiner Versuch zeigt, dass das nicht stimmt: Zerknüllt man das Blatt Papier zu einer Kugel und wiederholt den Versuch, kommen Metallkugel und Papierkugel fast gleichzeitig am Boden an – obwohl das Papier durch das Zerknüllen nicht schwerer geworden ist.

Entscheidend ist also nicht in erster Linie die Masse, sondern der Luftwiderstand. Das glatte Blatt bietet der Luft eine große Angriffsfläche und wird beim Fallen stark gebremst. Beim zerknüllten Papier ist diese Fläche viel kleiner – der Luftwiderstand sinkt, und das Papier fällt fast ungebremst.

Feder und Stein im Vakuum

Um den Einfluss der Luft ganz auszuschalten, lässt man eine Vogelfeder und einen Stein in einer Glasröhre fallen. Solange die Röhre mit Luft gefüllt ist, passiert das Erwartete: Der Stein fällt sofort nach unten, die Feder schwebt langsam zu Boden.

Dann saugt man die Luft mit einer Vakuumpumpe aus der Röhre ab. Es entsteht ein Vakuum – ein luftleerer Raum ohne Luftwiderstand. Jetzt fallen Feder und Stein absolut synchron: Sie starten gleichzeitig, sind in jedem Moment auf derselben Höhe und kommen im selben Augenblick unten an.

Für schwere Körper bei nicht allzu langen Fallzeiten ist diese Bedingung auch in Luft sehr gut erfüllt: Ein Stein, ein Apfel oder ein Ball aus wenigen Metern Höhe fällt praktisch wie im Vakuum. Bei leichten Körpern (Feder, Blatt, Styropor) oder bei langen Fallzeiten (Fallschirmspringer, Regentropfen) spielt die Luftreibung dagegen eine erhebliche Rolle und bestimmt die Bewegung. Damit beschäftigt sich das Thema 1.8 Luftwiderstand.

Was bedeutet „alle Körper fallen gleich schnell“?

Die Aussage „alle Körper fallen gleich schnell“ ist physikalisch nicht ganz präzise. Lässt man den Stein aus größerer Höhe fallen als die Feder, kommt er natürlich später am Boden an – dafür hat er dann aber auch eine höhere Geschwindigkeit. Auch ein Körper, der beim Loslassen schon eine Geschwindigkeit hat, erreicht den Boden früher.

Genauer wird es, wenn man die Bewegung in Diagrammen betrachtet. Wir messen die Fallzeit t ab dem Loslassen. Die Fallstrecke s und die Fallgeschwindigkeit v zählen wir nach unten positiv.

• Im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm steigt die Geschwindigkeit linear an: eine Ursprungsgerade (beide starten aus der Ruhe).
• Im Zeit-Positions-Diagramm (s(t)-Diagramm) steigt die Fallstrecke parabelförmig an: Weil der Körper immer schneller wird, legt er in jeder weiteren Zeitspanne eine größere Strecke zurück.

Die Fallbeschleunigung g

Die für alle Körper gleiche Beschleunigung beim freien Fall heißt Fallbeschleunigung. Wie jede Beschleunigung ergibt sie sich als Quotient aus Geschwindigkeitsänderung Δv und Zeitspanne Δt – im v(t)-Diagramm ist sie die Steigung der Geraden. Aus dem Steigungsdreieck in Abb. 1.1 liest man ab: Innerhalb von Δt = 0,1 s nimmt die Geschwindigkeit um etwa Δv = 1 m/s zu:

Ein frei fallender Körper wird also in jeder Sekunde um etwa 10 m/s schneller. Genauere Messungen ergeben auf der Erde im Mittel 9,81 m/s². Da die Fallbeschleunigung eine Folge der Erdanziehung (Fachbegriff: Gravitation, engl. gravity) ist, bekommt sie das Formelzeichen g:

Ein Körper, der aus der Ruhe losgelassen wird, hat also

Plausibilität: Pro Sekunde kommen rund 35 km/h dazu. Nach nur 3 Sekunden freiem Fall ist ein Körper also schon über 100 km/h schnell!

Der freie Fall als gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Weil g konstant ist, ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe – genau die Bewegung, die du im Thema 1.2 Beschleunigung (Lerneinheit 4) kennengelernt hast. Wir müssen dort nur die Beschleunigung a durch g ersetzen. Zur Erinnerung die Herleitung, wenn Zeit t und Fallstrecke s ab dem Loslassen gezählt werden und nach unten positiv sind:

• Aus g = Δv/Δt folgt Δv = g · Δt. Beim Start aus der Ruhe ist Δv = v(t) − 0 = v(t) und Δt = t − 0 = t, also

• Die Fallstrecke ist die Fläche unter der v(t)-Geraden: ein Dreieck mit der Breite t und der Höhe v(t) = g · t. Seine Fläche ist ½ · t · g · t:

Wie bei jeder gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe wächst die Geschwindigkeit linear, die Fallstrecke quadratisch: In der doppelten Zeit fällt ein Körper viermal so weit, in der dreifachen Zeit neunmal so weit.

Die Fallbeschleunigung ist nicht überall gleich: der Ortsfaktor

Strenggenommen ist die Fallbeschleunigung nicht an jedem Ort der Erde gleich groß. Am Äquator beträgt sie nur etwa 9,78 m/s², an den Polen etwa 9,83 m/s². Dafür gibt es zwei Gründe, die beide mit der Drehung der Erde um ihre eigene Achse zusammenhängen:

1. Die Form der Erde: Durch ihre Rotation ist die Erde keine perfekte Kugel, sondern an den Polen leicht abgeplattet und am Äquator nach außen gewölbt. An den Polen ist man dem Erdmittelpunkt etwa 21 km näher als am Äquator. Die Anziehungskraft (Gravitation) ist umso stärker, je näher man dem Massenzentrum ist – an den Polen also etwas größer.
2. Die Fliehkraft: Durch die Erdrotation bewegt man sich am Äquator auf einer großen Kreisbahn. Die dabei auftretende Fliehkraft zeigt nach außen und wirkt der Erdanziehung entgegen – sie schwächt die Fallbeschleunigung am Äquator ab. An den Polen befindet man sich genau auf der Drehachse; dort gibt es keine Fliehkraft.

Auch die Höhe über der Erdoberfläche hat Einfluss: Je weiter man vom Erdmittelpunkt entfernt ist, desto kleiner ist g. Auf einem hohen Berg ist die Fallbeschleunigung deshalb ein klein wenig geringer als auf Meereshöhe. Der Standardwert 9,81 m/s² ist ein Durchschnittswert für mittlere Breiten (z. B. Deutschland). Weil die Fallbeschleunigung vom Ort abhängt, nennt man sie auch Ortsfaktor.

Große Unterschiede zeigen sich erst auf anderen Himmelskörpern. Dort entscheiden zwei Größen über die Fallbeschleunigung: die Masse und der Radius des Himmelskörpers.

Der Mond ist deutlich kleiner und leichter als die Erde; ein Körper wird dort fast sechsmal schwächer beschleunigt. Das erklärt die scheinbar schwebenden, großen Sprünge der Astronauten bei den Apollo-Missionen. Beim Jupiter ist man wegen des riesigen Radius zwar weit vom Zentrum entfernt, seine gewaltige Masse sorgt aber trotzdem für rund 2,5-fache Erdbeschleunigung. Auf der Sonne wäre ein freier Fall nach winzigen Sekundenbruchteilen vorbei.