Aufgabe 3.2
Tiefer Brunnen
Bei einem alten Burgbrunnen hört man den Aufprall eines fallengelassenen Steins nach 3,0 s. Die Schallgeschwindigkeit ist 340 m/s, der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
a) Welche Tiefe erhält man, wenn man die Schalllaufzeit vernachlässigt?
h = ½ · g · T²
h = ½ · 9,81 m/s² · (3,0 s)² ≈ 44,15 m
b) Berechne die tatsächliche Tiefe mit Berücksichtigung der Schalllaufzeit.
tF = T − h/vS in h = ½ g tF² einsetzen und in die Normalform bringen.
h² − (2 · 3 · 340 + 2 · 340²/9,81) · h + (3 · 340)² = 0
pq-Formel, nur die Lösung mit dem Minuszeichen ist sinnvoll.
Normalform: h² − 25 607,8 · h + 1 040 400 = 0
h = 12 803,89 − √(12 803,89² − 1 040 400) ≈ 40,69 m
Kontrolle: tF = √(2 · 40,69 m / 9,81 m/s²) ≈ 2,88 s, tS = 40,69 m / 340 m/s ≈ 0,12 s, Summe 3 s ✓
h = 12 803,89 − √(12 803,89² − 1 040 400) ≈ 40,69 m
Kontrolle: tF = √(2 · 40,69 m / 9,81 m/s²) ≈ 2,88 s, tS = 40,69 m / 340 m/s ≈ 0,12 s, Summe 3 s ✓
c) Um wie viel Prozent überschätzt die Rechnung ohne Schall die Tiefe?
Fehler = (hohne − hmit) / hmit
(44,15 m − 40,69 m) / 40,69 m ≈ 8,5 %