Aufgabe 3.4
Ball und Fallschirm
Ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 aus 10 m Höhe fallengelassen (Luftreibung vernachlässigt, g = 10 m/s²). Im selben Moment befindet sich ein Modellfallschirm 12 m über dem Boden. Er sinkt mit konstanter Geschwindigkeit und erreicht den Boden nach 1,5 s. Verwende ein Koordinatensystem mit Ursprung am Boden und positiver Richtung nach oben.
a) Bestimme die Geschwindigkeit des Fallschirms und stelle seine Bewegungsgleichung sF(t) auf. Gib die Geschwindigkeit mit Vorzeichen an.
Der Fallschirm legt 12 m in 1,5 s zurück – nach unten.
vF = Δs/Δt = (0 − 12 m) / 1,5 s = −8 m/s
sF(t) = 12 m − 8 m/s · t, vF(t) = −8 m/s (konstant)
sF(t) = 12 m − 8 m/s · t, vF(t) = −8 m/s (konstant)
b) Nach welcher Zeit ist der Ball genauso schnell wie der Fallschirm?
Ball: vB(t) = −10 m/s² · t. Setze vB(t) = vF.
−10 m/s² · t = −8 m/s ⇒ t = 0,8 s. Beide haben dann die Geschwindigkeit 8 m/s nach unten.
c) Zu welchen Zeitpunkten sind Ball und Fallschirm gleich hoch? Gib beide Zeitpunkte an (kleinerer zuerst).
Ball: sB(t) = 10 m − 5 m/s² · t². Setze sB(t) = sF(t).
10 − 5t² = 12 − 8t ⇒ 5t² − 8t + 2 = 0 ⇒ t² − 1,6t + 0,4 = 0
pq-Formel: t = 0,8 ± √(0,64 − 0,4)
10 − 5t² = 12 − 8t ⇒ t² − 1,6 t + 0,4 = 0 (Einheiten weggelassen)
t = 0,8 ± √(0,64 − 0,4) = 0,8 ± √0,24 = 0,8 ± 0,4899
t1 ≈ 0,31 s, t2 ≈ 1,29 s. Beide Lösungen sind sinnvoll, denn der Ball ist erst nach √2 s ≈ 1,41 s am Boden.
t = 0,8 ± √(0,64 − 0,4) = 0,8 ± √0,24 = 0,8 ± 0,4899
t1 ≈ 0,31 s, t2 ≈ 1,29 s. Beide Lösungen sind sinnvoll, denn der Ball ist erst nach √2 s ≈ 1,41 s am Boden.
d) In welchen Höhen sind die beiden gleichauf? Beschreibe, was zwischen den beiden Zeitpunkten passiert.
Setze die Zeiten in sF(t) = 12 m − 8 m/s · t ein.
h1 = 12 m − 8 m/s · 0,31 s ≈ 9,52 m, h2 = 12 m − 8 m/s · 1,29 s ≈ 1,68 m
Der Fallschirm ist anfangs schneller (8 m/s gegenüber 0) und überholt den Ball bei t₁. Ab t = 0,8 s ist der Ball schneller, holt auf und überholt den Fallschirm bei t₂ wieder.
Der Fallschirm ist anfangs schneller (8 m/s gegenüber 0) und überholt den Ball bei t₁. Ab t = 0,8 s ist der Ball schneller, holt auf und überholt den Fallschirm bei t₂ wieder.