Kenngrößen des senkrechten Wurfs nach oben

Beim häufigsten Fall – dem Wurf nach oben – interessieren vor allem vier Größen:

• die Steigzeit t_S bis zum höchsten Punkt,
• die dabei erreichte maximale Höhe h_max,
• die Fallzeit t_F vom höchsten Punkt bis zum Boden (und damit die Wurfdauer t_W),
• die Aufprallgeschwindigkeit v_A.

Wir leiten alle Formeln aus den Bewegungsgleichungen (1.43) und (1.44) her. Tipp zum Selbstversuch: Beschreibe die Bewegung ab dem höchsten Punkt als freien Fall.

Die Steigzeit

Am höchsten Punkt kehrt die Geschwindigkeit ihre Richtung um und ist für einen Augenblick null. Im v(t)-Diagramm ist das der Schnittpunkt der Geraden mit der Zeitachse. Wir setzen also die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion null:

v(t_S) ≝ 0 ⇒ −g · t_S + v₀ = 0 ⇒ g · t_S = v₀

Das ist genau die Formel für die Bremsdauer aus Thema 1.2: Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ wird durch die Fallbeschleunigung g bis zum Stillstand abgebremst.

Die maximale Höhe

Die maximale Höhe erreicht der Körper zum Zeitpunkt t_S. Wir setzen die Steigzeit in das Zeit-Positions-Gesetz ein und vereinfachen Schritt für Schritt:

1. h_max = h(t_S) = −½ · g · t_S² + v₀ · t_S + h₀
2. t_S = v₀/g einsetzen: h_max = −½ · g · v₀²/g² + v₀ · v₀/g + h₀
3. Kürzen: h_max = −v₀²/(2g) + v₀²/g + h₀
4. Zusammenfassen mit v₀²/g = 2v₀²/(2g):

Der Term v₀²/(2g) ist der Bremsweg beim Abbremsen von v₀ auf null mit der Verzögerung g – die Steighöhe über dem Abwurfpunkt. Dazu kommt nur noch die Abwurfhöhe h₀.

Fallzeit und Wurfdauer

Ab dem höchsten Punkt fällt der Körper aus der Ruhe – ein einfacher freier Fall aus der Höhe h_max. Diesen beschreiben wir am besten mit einem neuen Koordinatensystem, dessen Ursprung im höchsten Punkt liegt und das nach unten positiv zeigt (orange in Abb. 1.4). Die Zeit t zählt ab dem Erreichen des Scheitels. Dann gilt s(t) = ½ · g · t² und v(t) = g · t. Der Körper ist am Boden, wenn er die Fallstrecke h_max zurückgelegt hat:

½ · g · t_F² ≝ h_max ⇒

Zusammenhang mit der pq-Formel: Man hätte die Wurfdauer auch direkt über h(t_W) = 0 bestimmen können:

−½ g t² + v₀ t + h₀ = 0 | · (−2/g) ⇒ t² − (2v₀/g) · t − 2h₀/g = 0
pq-Formel: t = v₀/g ± √(v₀²/g² + 2h₀/g). Unter der Wurzel steht (2/g) · (v₀²/(2g) + h₀) = 2h_max/g, also

t = t_S ± √(2h_max/g) = t_S ± t_F. Physikalisch relevant ist nur die Lösung mit dem Pluszeichen – genau unsere Formel (1.44c).

Die Aufprallgeschwindigkeit

Weg 1 – über den freien Fall ab dem Scheitel: v_A = g · t_F = √(2g · h_max). Mit h_max aus (1.44b):

v_A = √(2g · (h₀ + v₀²/(2g))) = √(2gh₀ + v₀²) (nach unten, im Fall-Koordinatensystem positiv)

Weg 2 – mit den ursprünglichen Wurfgleichungen: Man setzt die gesamte Wurfdauer in v(t) = −g · t + v₀ ein: v(t_W) = −g · (t_S + t_F) + v₀ = −v₀ − g · t_F + v₀ = −g · t_F. Das ist betragsmäßig dasselbe, nur mit Minuszeichen, weil im Wurf-Koordinatensystem nach oben positiv ist:

Interessant: v₀ steht quadriert in der Formel. Die Aufprallgeschwindigkeit ist also dieselbe, ob man den Körper mit v₀ nach oben oder nach unten wirft. Beim Wurf nach oben passiert der Körper die Abwurfhöhe auf dem Rückweg wieder mit dem Betrag v₀ – ab dort verläuft er wie der Wurf nach unten.

Die Formeln gelten allgemein

Alle Formeln gelten auch für den Wurf nach unten – dann ist v₀ negativ einzusetzen. Die Steigzeit wird negativ: Sie zeigt, wann der Körper (rückwärts gedacht) seinen Scheitel gehabt hätte. Für v₀ = 0 erhält man den freien Fall: t_S = 0, h_max = h₀, t_W = √(2h₀/g), v_A = −√(2gh₀).