Der vertikale Wurf als freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit
Vom freien Fall zum Wurf
Beim freien Fall wird ein Körper aus der Ruhe losgelassen. Wirft man ihn dagegen mit einer Anfangsgeschwindigkeit senkrecht nach oben oder senkrecht nach unten, spricht man von einem vertikalen (senkrechten) Wurf. Allgemein bezeichnet man jede Bewegung eines abgeworfenen Körpers im Schwerefeld der Erde als Wurf. Wie beim freien Fall betrachten wir nur reibungsfreie Würfe, der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
Versuch: Wurf und freier Fall im Vergleich
Eine rote Kugel wird aus 1,8 m Höhe losgelassen – ein freier Fall. Eine blaue Kugel wird in dem Moment, in dem die rote Kugel in 1 m Höhe an ihr vorbeifällt, genau mit deren momentaner Geschwindigkeit senkrecht nach unten geworfen. Ab diesem Moment beginnt die Beobachtung.
Ergebnis: Beide Bewegungen verlaufen völlig synchron. Das ist auch nicht verwunderlich: Beide Kugeln sind zur selben Zeit auf derselben Höhe, haben dieselbe Geschwindigkeit und unterliegen ab dann nur noch der Gravitation. Es gibt keinen Grund, weshalb sich ihre Bewegungen unterscheiden sollten.
Das gilt auch für den Wurf nach oben: Ausgehend von der Anfangsgeschwindigkeit nimmt die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 9,81 m/s ab, bis sie am höchsten Punkt null ist. Danach fällt der Körper wie beim freien Fall mit weiterhin 9,81 m/s² nach unten, und seine Geschwindigkeit nimmt betragsmäßig wieder zu.
Die Bewegungsgleichungen des vertikalen Wurfs
Weil die Beschleunigung konstant ist, gelten wieder die allgemeinen Bewegungsgleichungen s(t) = ½ · a · t² + v0 · t + s0 und v(t) = a · t + v0. Bei Würfen ist es meist zweckmäßig, den Ursprung auf den Boden zu legen und die Richtung nach oben als positiv zu wählen. Die Koordinate beschreibt dann die Höhe über dem Boden; man schreibt dafür statt s oft h.
• Die Beschleunigung ist die Fallbeschleunigung. Sie zeigt nach unten, also entgegen der positiven Richtung: Wir rechnen mit dem positiven Wert g = 9,81 m/s² und setzen ein Minuszeichen vor die Beschleunigungsterme.
• Wird der Körper nach oben geworfen, ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 positiv; wird er nach unten geworfen, ist v0 negativ.
• Die Anfangsposition h0 ist die Abwurfhöhe über dem Boden zum Zeitpunkt t = 0.
Man kann die Fallbeschleunigung auch als negativen Wert g = −9,81 m/s² einsetzen und die Gleichungen dann ohne Minuszeichen schreiben: v(t) = g · t + v0, h(t) = ½ · g · t² + v0 · t + h0. Das Ergebnis ist dasselbe – man darf das Minus nur nicht doppelt verwenden. Wählt man das Koordinatensystem andersherum (nach unten positiv), kehren sich alle Vorzeichen um.
Beispiel: Wurf nach unten
Ein Stein wird von einer hohen Brücke aus h0 = 120 m mit 20 m/s senkrecht nach unten geworfen. Der Einfachheit halber rechnen wir mit g = 10 m/s². Die Anfangsgeschwindigkeit zeigt nach unten, also ist v0 = −20 m/s:
| t in s | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| v in m/s | −20 | −30 | −40 | −50 |
| h in m | 120 | 95 | 60 | 15 |
Die Geschwindigkeit nimmt betragsmäßig in jeder Sekunde um 10 m/s zu. Die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion ist eine Geradengleichung: Der y-Achsenabschnitt ist die Anfangsgeschwindigkeit v0, die Steigung die Fallbeschleunigung −g. Im Zeit-Positions-Diagramm ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel. Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit – schon bei t = 0 zeigt sie mit −20 m/s nach unten, und sie wird immer steiler.
Wann trifft der Stein auf? Am Boden ist h = 0. Das ergibt eine quadratische Gleichung (Einheiten weggelassen):
0 = −5 t² − 20 t + 120 | : (−5) ⇒ t² + 4 t − 24 = 0
pq-Formel: t = −2 ± √(4 + 24) = −2 ± √28 ⇒ t ≈ −2 + 5,29 = 3,29 s (die negative Lösung entfällt)
Aufprallgeschwindigkeit: v = −10 m/s² · 3,29 s − 20 m/s ≈ −52,9 m/s
Beispiel: Wurf nach oben
Wird derselbe Stein mit 20 m/s nach oben geworfen, ändert sich in den Gleichungen nur das Vorzeichen von v0:
| t in s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| v in m/s | 20 | 10 | 0 | −10 | −20 | −30 | −40 | −50 |
| h in m | 120 | 135 | 140 | 135 | 120 | 95 | 60 | 15 |
Die Fallbeschleunigung bremst den Stein in jeder Sekunde um 10 m/s ab. Nach 2 s ist die Geschwindigkeit null: Der Stein bewegt sich in diesem Augenblick nicht – die Gravitation hat die Anfangsgeschwindigkeit „aufgebraucht“. Er hat seinen höchsten Punkt (140 m) erreicht und beginnt zu fallen; die Geschwindigkeit wird negativ und nimmt betragsmäßig wieder zu. Das Fallen ab dem höchsten Punkt gleicht einem freien Fall aus der Ruhe.
Im v(t)-Diagramm ist die Gerade gegenüber dem Wurf nach unten nur nach oben verschoben (y-Achsenabschnitt +20 statt −20 m/s). Die Steigung bleibt gleich, denn sie ist bei allen Würfen durch die Fallbeschleunigung vorgegeben. Der Stein trifft nach t = 2 + √28 ≈ 7,29 s auf – mit derselben Aufprallgeschwindigkeit −52,9 m/s wie beim Wurf nach unten. Das gilt immer dann, wenn der Körper aus derselben Höhe mit gleich großer Geschwindigkeit nach oben bzw. nach unten geworfen wird.
Der freie Fall als Spezialfall
Setzt man in den Bewegungsgleichungen die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0, erhält man genau den freien Fall (grün gestrichelt in Abb. 1.2 und 1.3): h(t) = h0 − ½ · g · t² und v(t) = −g · t. Man kann den freien Fall also als Spezialfall eines Wurfs ansehen – oder umgekehrt den vertikalen Wurf als freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit.
v(t) = −g · t + v0 h(t) = −½ · g · t² + v0 · t + h0
v0 > 0: Wurf nach oben, v0 < 0: Wurf nach unten, v0 = 0: freier Fall. Das v(t)-Diagramm ist immer eine Gerade mit der Steigung −g, das h(t)-Diagramm eine nach unten geöffnete Parabel.