Aufgabe 1.1
Ball senkrecht nach oben
Ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 aus der Höhe h0 = 1,5 m mit 15 m/s senkrecht nach oben geschossen. Der Ball ist als Punktmasse anzusehen, die Luftreibung wird vernachlässigt. Rechne mit g = 10 m/s² und einem Koordinatensystem mit Ursprung am Boden, nach oben positiv.
a) Stelle die Bewegungsgleichungen h(t) und v(t) auf. In welcher Höhe befindet sich der Ball nach t = 0,5 s, und welche Geschwindigkeit hat er dabei?
v₀ = +15 m/s (nach oben), h₀ = 1,5 m, a = −10 m/s².
h(t) = −5 m/s² · t² + 15 m/s · t + 1,5 m
h(t) = −5 m/s² · t² + 15 m/s · t + 1,5 m, v(t) = −10 m/s² · t + 15 m/s
h(0,5 s) = −5 · 0,25 m + 7,5 m + 1,5 m = 7,75 m, v(0,5 s) = −5 m/s + 15 m/s = 10 m/s (noch nach oben)
h(0,5 s) = −5 · 0,25 m + 7,5 m + 1,5 m = 7,75 m, v(0,5 s) = −5 m/s + 15 m/s = 10 m/s (noch nach oben)
b) Nach welcher Zeit erreicht der Ball seine Maximalhöhe, und wie hoch ist diese?
Welche Geschwindigkeit hat der Ball am höchsten Punkt?
v(t) = 0 ⇒ t = 15 m/s / 10 m/s². Setze diese Zeit in h(t) ein.
Am höchsten Punkt ist v = 0: −10 m/s² · t + 15 m/s = 0 ⇒ t = 1,5 s
hmax = h(1,5 s) = −5 · 2,25 m + 22,5 m + 1,5 m = 12,75 m
hmax = h(1,5 s) = −5 · 2,25 m + 22,5 m + 1,5 m = 12,75 m
c) Nach welcher Zeit trifft der Ball wieder auf den Boden, und welche Aufprallgeschwindigkeit hat er?
Am Boden ist h = 0: −5t² + 15t + 1,5 = 0.
Durch −5 teilen: t² − 3t − 0,3 = 0, dann pq-Formel.
vA = v(tA) – mit Vorzeichen!
−5 t² + 15 t + 1,5 = 0 ⇒ t² − 3 t − 0,3 = 0 ⇒ t = 1,5 ± √(2,25 + 0,3) = 1,5 ± 1,5969
Physikalisch sinnvoll: tA ≈ 3,1 s
vA = −10 m/s² · 3,097 s + 15 m/s ≈ −15,97 m/s (nach unten)
Physikalisch sinnvoll: tA ≈ 3,1 s
vA = −10 m/s² · 3,097 s + 15 m/s ≈ −15,97 m/s (nach unten)
d) Zeichne die Bewegung quantitativ in ein Zeit-Positions- und ein Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm.
h(t) ist eine nach unten geöffnete Parabel, Scheitel bei (1,5 s | 12,75 m).
v(t) ist eine Gerade von +15 m/s mit der Steigung −10 m/s², Nullstelle bei 1,5 s.
Parabel durch (0 | 1,5 m), (0,5 s | 7,75 m), Scheitel (1,5 s | 12,75 m), Nullstelle bei 3,10 s. Gerade von 15 m/s bis −15,97 m/s mit Nullstelle bei 1,5 s.
e) Welche Bewegung führt der Ball aus, wenn man nur den Zeitraum ab t = 1,5 s betrachtet?
Welche Geschwindigkeit hat der Ball bei t = 1,5 s?
Bei t = 1,5 s ist der Ball in 12,75 m Höhe in Ruhe (v = 0). Ab dann wirkt nur die Fallbeschleunigung: Es ist ein freier Fall aus 12,75 m Höhe. Kontrolle: Falldauer √(2 · 12,75 m / 10 m/s²) ≈ 1,60 s, und 1,5 s + 1,60 s = 3,10 s ✓