Aufprallgeschwindigkeit, Aufprallwinkel, Bahnkurve und Spezialfälle
Die Aufprallgeschwindigkeit
Wie beim horizontalen Wurf setzt sich der Geschwindigkeitsvektor zu jedem Zeitpunkt rechtwinklig aus x- und y-Komponente zusammen; der Betrag folgt aus dem Satz des Pythagoras. Beim Aufprall ist
• vAx = v0 cos α (unverändert),
• vAy die vertikale Geschwindigkeit beim Aufprall. Man kann sie entweder über das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz des Wurfs mit der Wurfdauer tW berechnen oder – einfacher – über den freien Fall ab dem Scheitel mit der Fallzeit tF. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Über den freien Fall (Betrag, nach unten):
1. |vAy| = g · tF = g · √(v0² sin²α/g² + 2h0/g)
2. g quadrieren und unter die Wurzel ziehen: |vAy| = √(g² · (v0² sin²α/g² + 2h0/g)) = √(v0² sin²α + 2gh0)
Pythagoras:
3. vA = √(vAx² + vAy²) = √(v0² cos²α + v0² sin²α + 2gh0)
4. v0² ausklammern: vA = √(v0² · (sin²α + cos²α) + 2gh0). Die Klammer ist immer 1:
Bemerkenswert: Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nur von v0 und h0 ab – der Abwurfwinkel spielt keine Rolle. Ob der Körper nach oben, nach unten oder waagrecht abgeworfen wird: Er kommt immer mit demselben Betrag der Geschwindigkeit unten an. Beispiel: Aus 10 m Höhe mit 15 m/s geworfen, trifft ein Stein stets mit √(225 + 196,2) m/s ≈ 20,52 m/s auf.
Der Aufprallwinkel
Da vA und seine Komponenten bekannt sind, kann man jede Winkelfunktion für den Aufprallwinkel β (zur Waagrechten) verwenden. Weil vA und vAx kompakte Formeln haben, nehmen wir den Kosinus – Ankathete vAx durch Hypotenuse vA:
Anders als die Aufprallgeschwindigkeit hängt der Aufprallwinkel sehr wohl vom Abwurfwinkel ab. Im Beispiel (15 m/s aus 10 m): unter 30° abgeworfen ist cos β = 15 · cos 30° / 20,52 ⇒ β ≈ 50,7°; waagrecht abgeworfen dagegen β ≈ 43°.
Die Bahnkurve y(x)
Wie beim horizontalen Wurf eliminieren wir den Zeitparameter:
1. Aus x = v0 cos α · t folgt t = x / (v0 cos α) – die Zeit, zu der der Körper die Stelle x erreicht.
2. Einsetzen in y(t): y = −½ g · x²/(v0² cos²α) + v0 sin α · x/(v0 cos α) + h0
3. Im mittleren Term kürzt sich v0, und sin α / cos α = tan α:
Die Bahnkurve ist eine nach unten geöffnete Parabel – die Wurfparabel. Die Koordinatendarstellung liefert für jede Stelle x direkt die Höhe y, ganz ohne Zeit. Das ist praktisch, wenn man wissen will, ob ein Ball über ein Hindernis fliegt oder einen Korb trifft.
y(5 m) = −9,81 · 25 / (2 · 100 · cos²40°) m + tan 40° · 5 m + 1,5 m ≈ −2,09 m + 4,2 m + 1,5 m ≈ 3,61 m
Der Ball fliegt also etwa 0,6 m über den Zaun.
Horizontaler und vertikaler Wurf als Spezialfälle
Mit den Gleichungen des schiefen Wurfs sind alle Würfe erfasst:
• α = 0°: cos 0° = 1, sin 0° = 0 ⇒ x = v0 t, y = h0 − ½ g t² – der horizontale Wurf (hier mit y nach oben).
• α = 90°: cos 90° = 0, sin 90° = 1 ⇒ x = 0, y = h0 + v0 t − ½ g t² – der vertikale Wurf nach oben; mit α = −90° der Wurf nach unten.
• v0 = 0: der freie Fall.