Die Kenngrößen des schiefen Wurfs

Nun bestimmen wir die wichtigsten Größen eines schiefen Wurfs ganz allgemein aus den Anfangsbedingungen v₀, α und h₀: die Steigzeit t_S bis zum höchsten Punkt, die maximale Höhe h_max, die Fallzeit t_F, die Wurfdauer t_W und die Wurfweite w. Versuche zuerst, die Formeln selbst herzuleiten – es geht genauso wie beim vertikalen Wurf, nur mit v_0y = v₀ · sin α.

Steigzeit und maximale Höhe

Am Scheitelpunkt der Bahn kommt die vertikale Aufwärtsbewegung für einen Moment zum Stillstand: v_y = 0. Die horizontale Geschwindigkeit ist dort aber unverändert v₀ cos α – der Körper bleibt also keineswegs stehen, er bewegt sich in diesem Moment rein waagrecht weiter.

v_y(t_S) ≝ 0 ⇒ v₀ sin α − g · t_S = 0 ⇒

Die Steigzeit gibt an, wann die vertikale Abwurfgeschwindigkeit durch die Erdanziehung „aufgebraucht“ ist. Die maximale Höhe erhalten wir durch Einsetzen in y(t):

1. h_max = y(t_S) = −½ g t_S² + v₀ sin α · t_S + h₀
2. = −½ g · v₀² sin²α / g² + v₀ sin α · v₀ sin α / g + h₀
3. = −v₀² sin²α / (2g) + v₀² sin²α / g + h₀ (ausmultipliziert und gekürzt)
4. = v₀² sin²α / (2g) + h₀

Die Steighöhe wächst quadratisch mit der Abwurfgeschwindigkeit und mit dem Sinus des Abwurfwinkels.

Fallzeit und Wurfdauer

Ab dem Scheitelpunkt ist die Bewegung in y-Richtung ein freier Fall aus der Ruhe aus der Höhe h_max. Mit einem neuen Koordinatensystem am Scheitel, nach unten positiv (Zeit t ab dem Scheitel, nicht ab dem Abwurf!), gilt s = ½ g t². Der Körper ist am Boden, wenn die Fallstrecke h_max erreicht ist:

½ · g · t_F² ≝ h_max ⇒ t_F = √(2h_max/g). Mit (1.54):

Auch hier gilt: Die Formel für t_W ist nichts anderes als die Lösung der quadratischen Gleichung y(t_W) = 0 mit der pq-Formel – physikalisch relevant ist nur die Lösung mit dem Pluszeichen.

Die Wurfweite

Die Wurfweite w ist die x-Position zum Zeitpunkt des Aufpralls. Wir setzen die Wurfdauer in (1.50) ein:

Setzt man für t_W den vollständigen Ausdruck ein, lässt sich die Formel nicht weiter vereinfachen. Man rechnet deshalb in der Praxis erst t_W aus und dann w.

Sonderfall: Abwurf und Aufprall auf gleicher Höhe

Wird vom Boden aus geworfen (h₀ = 0), wird alles einfacher: Steigen und Fallen dauern gleich lang, t_W = 2 t_S = 2v₀ sin α / g. Für die Wurfweite folgt:

w = v₀ cos α · 2v₀ sin α / g = v₀² · 2 sin α cos α / g. Mit der trigonometrischen Beziehung 2 sin α cos α = sin(2α):

Weil sin(2α) für 2α = 90° am größten ist, erreicht man die größte Wurfweite bei α = 45°. Außerdem ergeben komplementäre Winkel (α und 90° − α, z. B. 30° und 60°) dieselbe Wurfweite, denn sin(60°) = sin(120°). Wird aus einer Höhe h₀ > 0 geworfen (z. B. beim Kugelstoßen), liegt der optimale Winkel etwas unter 45°.