Zerlegung der Abwurfgeschwindigkeit und Bewegungsgleichungen
Der allgemeinste Wurf
Freier Fall, vertikaler Wurf und horizontaler Wurf hast du bereits kennengelernt. Jetzt kommt der allgemeinste Fall: der schiefe Wurf. Ein Körper wird weder rein senkrecht noch rein waagrecht abgeworfen, sondern unter einem frei wählbaren Abwurfwinkel α zur Waagrechten – denke an einen Abstoß beim Fußball, einen Speerwurf oder das Kugelstoßen. Auch hier vernachlässigen wir den Luftwiderstand.
Versuch: schiefer Wurf, senkrechter Wurf und rollende Kugel
Mit einem Wurfgerät wird eine Kugel unter einem einstellbaren Winkel abgeschossen. Gleichzeitig wird eine zweite Kugel senkrecht nach oben geworfen, und zwar genau mit der vertikalen Geschwindigkeitskomponente der schräg geworfenen Kugel. In Zeitlupe sieht man: Beide Kugeln sind in jedem Moment auf derselben Höhe. Sie steigen gleichzeitig, erreichen im selben Moment ihren höchsten Punkt, fallen synchron und prallen zeitgleich auf.
Eine dritte Kugel rollt mit konstanter Geschwindigkeit über den Boden – genau mit der horizontalen Geschwindigkeitskomponente der schräg geworfenen Kugel. Auch hier verlaufen beide Bewegungen in horizontaler Richtung völlig synchron.
Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit
Um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, zerlegen wir den Vektor der Abwurfgeschwindigkeit v⃗0 in eine horizontale und eine vertikale Komponente. Dazu zeichnet man am Abwurfpunkt ein rechtwinkliges Dreieck: Die Hypotenuse ist der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit v0, der Winkel α liegt zwischen Abwurfrichtung und Waagrechter.
Aus der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck:
• cos α = Ankathete / Hypotenuse = v0x / v0 ⇒ v0x = v0 · cos α
• sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = v0y / v0 ⇒ v0y = v0 · sin α
Probe mit dem Satz des Pythagoras: v0x² + v0y² = v0² · (cos²α + sin²α) = v0², denn cos²α + sin²α = 1. Wird schräg nach unten geworfen, ist α negativ und damit auch v0y.
Die Bewegungsgleichungen des schiefen Wurfs
Wir legen den Koordinatenursprung auf den Boden unterhalb des Abwurfpunkts. Die x-Achse zeigt waagrecht in Wurfrichtung und beschreibt den horizontalen Abstand zum Abwurfpunkt (die „Weite“), die y-Achse zeigt nach oben und beschreibt die Höhe über dem Boden. Die Fallbeschleunigung wirkt entgegen der positiven y-Richtung und bekommt deshalb ein Minuszeichen. Beachte: Beschrieben wird der Schwerpunkt der Kugel; liegt die Kugel auf dem Boden, ist er um den Kugelradius höher. Wir betrachten die Kugel als Punktmasse.
x-Richtung: Weil wir reibungsfrei rechnen, wirken in horizontaler Richtung keine Kräfte und keine Beschleunigung. Der Körper bewegt sich gleichförmig mit der horizontalen Startgeschwindigkeit v0x:
y-Richtung: Die Bewegung entspricht einem vertikalen Wurf nach oben mit der Anfangsgeschwindigkeit v0y aus der Abwurfhöhe h0 (vgl. (1.43) und (1.44)). Die vertikale Geschwindigkeit verringert sich in jeder Sekunde um 9,81 m/s:
Damit kann man zu jedem Zeitpunkt t die Position (x | y) und die beiden Geschwindigkeitskomponenten berechnen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit folgt wieder aus dem Satz des Pythagoras: v = √(vx² + vy²).
Anwendung an einem Beispiel
Komponenten: v0x = 4 m/s · cos 60° = 2 m/s, v0y = 4 m/s · sin 60° ≈ 3,46 m/s
Bewegungsgleichungen: x(t) = 2 m/s · t, y(t) = −4,905 m/s² · t² + 3,464 m/s · t + 1 m, vy(t) = 3,464 m/s − 9,81 m/s² · t
Nach t = 0,2 s: x = 0,4 m, y ≈ 1,5 m, vy ≈ 1,5 m/s (steigt noch)
Nach t = 0,353 s ist vy = 0: höchster Punkt bei 1,61 m. Danach wird vy negativ, die Kugel fällt – vx bleibt 2 m/s.
Nach t = 0,926 s ist y = 0: Wurfweite x ≈ 1,85 m, vy ≈ −5,62 m/s, Aufprallgeschwindigkeit √(2² + 5,62²) m/s ≈ 5,97 m/s.
y-Richtung: y(t) = −½ g t² + v0 sin α · t + h0, vy(t) = v0 sin α − g t
Am höchsten Punkt ist nur vy = 0 – der Körper bleibt dort nicht stehen, sondern bewegt sich mit v0x waagrecht weiter.