Aufgabe 3.3
Vom Ende der schiefen Ebene
Ein kleiner Körper gleitet eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel 25° hinunter und verlässt sie an der Stelle B mit vB = 2,4 m/s in Richtung der schiefen Ebene – also schräg nach unten. Der Körper ist als Punktmasse zu betrachten, der Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt, g = 9,81 m/s². Das Koordinatensystem hat seinen Ursprung in B, die x-Achse zeigt waagrecht in Bewegungsrichtung, die y-Achse nach unten.
a) Zerlege vB in die Komponenten vBx und vBy.
Die Bewegungsrichtung ist 25° unter der Waagrechten; y zeigt nach unten, also ist vBy positiv.
vBx = 2,4 m/s · cos 25° ≈ 2,18 m/s, vBy = 2,4 m/s · sin 25° ≈ 1,01 m/s
b) Berechne die Koordinaten des Körpers 0,2 s und 0,4 s nach dem Passieren von B. Gib die y-Werte ein.
x(t) = vBx · t, y(t) = vBy · t + ½ · g · t² (y nach unten, also +g)
Wertetabelle:
| t in s | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
|---|---|---|---|---|---|
| x in m | 0 | 0,22 | 0,44 | 0,65 | 0,87 |
| y in m | 0 | 0,15 | 0,4 | 0,75 | 1,19 |
c) Die Auftreffstelle C liegt 1 m tiefer als B. Bestimme die Flugzeit von B nach C.
y(t) = 1 m: 4,905 t² + 1,014 t − 1 = 0
pq-Formel, positive Lösung.
t² + 0,2068 t − 0,2039 = 0 ⇒ t = −0,1034 + √(0,1034² + 0,2039) ≈ 0,36 s
d) Ermittle den Betrag der Geschwindigkeit in C und den Auftreffwinkel zur Horizontalen.
vCy = vBy + g · tBC, vCx = vBx
Kontrolle: vC = √(vB² + 2g · 1 m)
vCy = 1,014 + 9,81 · 0,3598 ≈ 4,544 m/s, vC = √(2,175² + 4,544²) ≈ 5,04 m/s (Kontrolle: √(2,4² + 19,62) ≈ 5,04 m/s ✓)
β = arctan(4,544 / 2,175) ≈ 64,4°
β = arctan(4,544 / 2,175) ≈ 64,4°