Die Geschwindigkeit auf der Wurfbahn

Nun betrachten wir die Geschwindigkeit des geworfenen Körpers. Mit den Bewegungsgesetzen (1.45) und (1.47) kennen wir zu jedem Zeitpunkt die horizontale Geschwindigkeit v_x und die vertikale Geschwindigkeit v_y. Die x-Geschwindigkeit bleibt immer gleich der Abwurfgeschwindigkeit (im Beispiel 4 m/s), die y-Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit.

Beispiel: 0,25 s nach dem Abwurf ist v_x = 4 m/s und v_y = 9,81 m/s² · 0,25 s ≈ 2,45 m/s. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Kugel auf ihrer Bahn bewegt – die Bahngeschwindigkeit v –, setzt sich aus diesen zwei rechtwinklig zueinander stehenden Komponenten zusammen. Ihren Betrag erhält man mit dem Satz des Pythagoras: Man quadriert beide Komponenten, addiert sie und zieht die Wurzel.

Im Beispiel: v = √((4 m/s)² + (2,453 m/s)²) ≈ 4,69 m/s. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit ist immer tangential zur Bahnkurve – der Geschwindigkeitspfeil zeigt in die Richtung, in die sich der Körper gerade bewegt.

Die Aufprallgeschwindigkeit

Beim Aufprall ist die x-Komponente weiterhin v_Ax = v₀. Die y-Komponente erhalten wir aus (1.47) mit der Wurfdauer t_W:

1. v_Ay = g · t_W = g · √(2h₀/g) = √(g² · 2h₀/g) = √(2gh₀) – genau die Aufprallgeschwindigkeit des freien Falls aus h₀.
2. Pythagoras: v_A = √(v_Ax² + v_Ay²) = √(v₀² + (√(2gh₀))²), also

Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nur von der Abwurfgeschwindigkeit v₀ und der Abwurfhöhe h₀ ab. Im Beispiel: v_A = √(16 m²/s² + 2 · 9,81 m/s² · 1,2 m) ≈ 6,29 m/s.

Der Aufprallwinkel

Der Aufprallwinkel β ist der Winkel zwischen der Flugrichtung beim Aufprall und der Waagrechten. Im rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreieck (Abb. 1.4) ist v_Ay die Gegenkathete und v_Ax die Ankathete von β. Der Tangens ist das Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete:

tan β = v_Ay / v_Ax = √(2gh₀) / v₀ ⇒

Im Beispiel: β = arctan(4,852 / 4) ≈ 50,5°.

Die Bahnkurve: Parameter- und Koordinatendarstellung

Bisher haben wir die Bahn mit dem Zeitparameter t beschrieben: Für jeden Zeitpunkt berechnen wir getrennt x(t) und y(t) und erhalten einen Punkt der Bahn. Das nennt man die Parameterdarstellung der Bahnkurve.

Man kann die Bahnkurve aber auch direkt als Funktion y(x) angeben – ohne den Umweg über die Zeit. Dazu:

1. Die Gleichung der x-Position nach t umstellen: x = v₀ · t ⇒ t = x/v₀. Das ist die Zeit, zu der der Körper die Position x erreicht.
2. Diesen Ausdruck in die y-Gleichung einsetzen: y = ½ · g · (x/v₀)²

Das ist die Koordinatendarstellung der Bahnkurve – eine nach unten geöffnete Parabel (im Koordinatensystem mit y nach unten nach „oben“ geöffnet), deren Scheitel im Abwurfpunkt liegt. Im Beispiel: y = 9,81/(2 · 16) · x² ≈ 0,3066 · x² (x und y in m).

Wurfweite aus der Bahnkurve: Die Wurfweite ist der x-Wert, bei dem y die Abwurfhöhe erreicht:

h₀ = g/(2v₀²) · w² ⇒ w² = 2v₀² · h₀/g ⇒ w = v₀ · √(2h₀/g) – dieselbe Formel wie (1.48b).