Horizontaler Wurf und freier Fall im Vergleich

Nach dem senkrechten Wurf betrachten wir nun einen Körper, der waagrecht (horizontal) abgeworfen wird – zum Beispiel ein Ball, der von einer Tischkante rollt, oder Wasser, das aus einem waagrecht gehaltenen Schlauch spritzt. Man spricht vom horizontalen oder waagrechten Wurf.

Für einen Versuch verwendet man ein spezielles Wurfgerät: Ein Bolzen wird gegen eine Feder nach hinten geschoben und fixiert; an seinen beiden Enden liegen zwei Kugeln. Löst man die Fixierung, schnellt der Bolzen nach vorne. Im selben Moment fällt die blaue Kugel einfach senkrecht nach unten, während die rote Kugel vom Bolzen horizontal abgeworfen wird.

Welche Kugel ist zuerst am Boden? Überlege dir eine Vermutung, bevor du weiterliest!

Ergebnis: Beide Kugeln prallen gleichzeitig auf. In Zeitlupe sieht man, dass sich die horizontal geworfene Kugel zu jedem Zeitpunkt auf derselben Höhe befindet wie die senkrecht fallende. Für die Fallzeit spielt es also keine Rolle, ob ein Körper einfach aus der Ruhe fällt oder mit beliebiger Geschwindigkeit horizontal abgeworfen wird. Selbst ein Projektil, das waagrecht aus einer Pistole abgefeuert wird, trifft (ohne Luftwiderstand) nach genau derselben Zeit auf den Boden wie ein Projektil, das man aus derselben Höhe fallen lässt.

Lässt man zusätzlich eine dritte Kugel mit genau der Abwurfgeschwindigkeit über den Boden rollen, stellt man fest: Sie befindet sich zu jedem Zeitpunkt an derselben x-Position wie die geworfene Kugel.

Das Superpositionsprinzip

Warum ist das so? Die Bewegung der geworfenen Kugel setzt sich aus zwei Teilbewegungen zusammen, die sich gegenseitig nicht beeinflussen:

• einer gleichförmigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in horizontaler Richtung und
• einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach unten durch die Erdanziehung.

Die Gravitation wirkt auf beide Kugeln gleich, und die horizontale Geschwindigkeit hat keinen Einfluss darauf, wie schnell ein Körper nach unten gezogen wird. Deshalb bewegen sich beide Kugeln senkrecht genau gleich. Umgekehrt wirkt die Fallbeschleunigung nur nach unten (y-Richtung) und beeinflusst die horizontale Bewegung (x-Richtung) nicht: Der Körper behält seine Abwurfgeschwindigkeit in x-Richtung konstant bei. Diese Unabhängigkeit überlagerter Bewegungen nennt man Superpositionsprinzip.

Die Bewegungsgleichungen des horizontalen Wurfs

Wir können den horizontalen Wurf also durch zwei getrennte Bewegungen beschreiben. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir in den Abwurfpunkt. Die x-Achse zeigt in Abwurfrichtung (nach rechts positiv), die y-Achse in Fallrichtung (nach unten positiv).

x-Richtung: Die Bewegung entspricht der gleichförmigen Bewegung der rollenden Kugel. Die Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt die Abwurfgeschwindigkeit v₀, die Position wächst linear mit der Zeit:

y-Richtung: Die Bewegung entspricht dem freien Fall der blauen Kugel mit der konstanten Fallbeschleunigung g. Weil die y-Achse nach unten zeigt, ist g hier positiv einzusetzen. Die y-Position ist gleichbedeutend mit der Fallstrecke:

Mit diesen Gleichungen kann man zu jedem Zeitpunkt den horizontalen und den vertikalen Abstand zum Abwurfpunkt – und damit die Position – exakt berechnen. Während x linear mit der Zeit wächst, wächst y quadratisch. Daraus ergibt sich die typische Wurfparabel.

Wählt man das Koordinatensystem anders – z. B. Ursprung am Boden unter dem Abwurfpunkt, y nach oben –, lautet die y-Gleichung y(t) = h₀ − ½ · g · t² und v_y(t) = −g · t. Die Physik ist dieselbe, nur die Vorzeichen ändern sich (vgl. freier Fall, KS 1 und KS 2). Im Widget oben kannst du beide Varianten umschalten.

Wurfdauer und Wurfweite

Wie lange dauert der Wurf aus der Abwurfhöhe h₀, und wie weit fliegt der Körper? Weil die y-Bewegung eines jeden horizontalen Wurfs ein freier Fall ist, entscheidet allein diese Fallbewegung über die Dauer. Die Abwurfgeschwindigkeit hat darauf – wie der Versuch zeigt – keinen Einfluss.

Wurfdauer: Gesucht ist die Zeit, nach der der Körper in y-Richtung die Fallstrecke h₀ zurückgelegt hat:

y(t_W) ≝ h₀ ⇒ ½ · g · t_W² = h₀ ⇒ t_W² = 2h₀/g

Wurfweite: Jetzt wissen wir, wie lange der Wurf dauert. Die Wurfweite w ist die x-Position zu diesem Zeitpunkt – wir setzen t_W in (1.46) ein: