Höchst- und Endgeschwindigkeit
Kraft und Beschleunigung
Um zu verstehen, wie der Luftwiderstand eine Bewegung beeinflusst, brauchen wir den Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung. Er ist die Grundgleichung der Mechanik (2. newtonsches Axiom), die im Kapitel Kinetik ausführlich behandelt wird:
Eine resultierende Kraft Fres auf einen Körper der Masse m bewirkt die Beschleunigung a = Fres/m. Wirken mehrere Kräfte in einer Linie, ist Fres ihre Summe mit Vorzeichen – entgegengesetzte Kräfte werden abgezogen. Ist die resultierende Kraft null, ist auch die Beschleunigung null: Der Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Beim freien Fall wirkt die Gewichtskraft FG = m · g. Ohne Luftwiderstand ist sie die einzige Kraft, und es folgt a = m · g / m = g – unabhängig von der Masse. Das ist genau der Grund, warum im Vakuum alle Körper gleich fallen.
Höchstgeschwindigkeit eines Autos
Ein Auto (m = 1500 kg) fährt aus dem Stand mit der Anfangsbeschleunigung a0 = 3 m/s² an. Die Antriebskraft FM des Motors soll über den gesamten Vorgang konstant bleiben. Stirnfläche 2,2 m², cw-Wert 0,4, Luftdichte 1,2 kg/m³, Rollwiderstand vernachlässigt. Welche Höchstgeschwindigkeit kann das Auto theoretisch erreichen?
1. Antriebskraft: Beim Anfahren (v = 0) gibt es noch keinen Luftwiderstand. Die Anfangsbeschleunigung wird also allein durch den Motor erzeugt: FM = m · a0 = 1500 kg · 3 m/s² = 4500 N.
2. Was passiert beim Beschleunigen? Mit wachsender Geschwindigkeit wirkt der Antriebskraft ein immer größerer Luftwiderstand entgegen. Die resultierende Kraft Fres = FM − FL und damit die Beschleunigung werden immer kleiner. Das Auto wird zwar weiter schneller, aber immer langsamer schneller.
3. Höchstgeschwindigkeit: Schließlich ist der Luftwiderstand genauso groß wie die Antriebskraft. Dann ist die resultierende Kraft null, die Beschleunigung null – die Höchstgeschwindigkeit ist erreicht:
FM = FL = ½ · ρ · vmax² · A · cw ⇒ vmax² = 2FM / (ρ · A · cw) ⇒ vmax = √(2FM / (ρ A cw))
vmax = √(2 · 4500 N / (1,2 kg/m³ · 2,2 m² · 0,4)) ≈ 92,3 m/s ≈ 332 km/h
In der Praxis ist die Höchstgeschwindigkeit deutlich geringer: Der vernachlässigte Rollwiderstand der Reifen bremst zusätzlich, und die Antriebskraft kann bei hohen Geschwindigkeiten wegen der Getriebeübersetzung nicht konstant bleiben.
Fallen mit Luftwiderstand – die Endgeschwindigkeit
Genauso verhält es sich beim Fallen durch Luft. Die „Antriebskraft“ ist hier die Gewichtskraft FG = m · g nach unten, der Luftwiderstand FL wirkt entgegen der Bewegung, also nach oben.
• Beim Loslassen ist v = 0, also auch FL = 0: Der Körper beschleunigt anfangs mit g.
• Mit wachsender Geschwindigkeit wächst FL; die resultierende Kraft FG − FL und damit die Beschleunigung nehmen ab.
• Sobald FL = FG ist, fällt der Körper mit konstanter Endgeschwindigkeit (Sinkgeschwindigkeit) vE.
½ · ρ · vE² · A · cw = m · g ⇒
Für die Beschleunigung bei einer beliebigen Geschwindigkeit v gilt: a = (m g − ½ ρ v² A cw)/m = g · (1 − v²/vE²). Bei halber Endgeschwindigkeit beträgt sie also noch ¾ g.
Jetzt verstehen wir auch den Versuch mit Feder und Stein: Die Endgeschwindigkeit hängt vom Verhältnis Masse zu (Fläche · cw) ab. Die Feder hat eine winzige Masse, aber eine vergleichsweise große Fläche – ihre Endgeschwindigkeit ist sehr klein und schnell erreicht. Beim Stein ist sie so groß, dass er auf 1 m praktisch frei fällt. Im Vakuum (ρ = 0) gibt es keine Endgeschwindigkeit, alle Körper fallen mit g.
| Körper | m | A · cw | Endgeschwindigkeit |
|---|---|---|---|
| Regentropfen (d = 2 mm) | 4,2 mg | 1,6 mm² | ≈ 6,6 m/s |
| Tischtennisball | 2,7 g | 5,7 cm² | ≈ 8,8 m/s |
| Fallschirmspringer (Bauchlage) | 90 kg | 0,7 m² | ≈ 46 m/s ≈ 165 km/h |
| Fallschirmspringer mit offenem Schirm | 90 kg | ≈ 58 m² | ≈ 5 m/s |
Der Fallschirmsprung
Ein Fallschirmsprung zeigt alle Phasen besonders schön: Nach dem Absprung beschleunigt der Springer zunächst fast mit g (1), wird dann immer langsamer schneller (2) und fällt nach etwa 15 s mit einer nahezu konstanten Endgeschwindigkeit von rund 45 bis 55 m/s (3). Beim Öffnen des Schirms vergrößern sich Fläche und cw-Wert schlagartig: Der Luftwiderstand ist viel größer als die Gewichtskraft, der Springer wird stark abgebremst (4), bis er mit der neuen, kleinen Endgeschwindigkeit von etwa 5 m/s sinkt und landet (5). Im Höhen-Zeit-Diagramm werden daraus zwei nahezu gerade Abschnitte mit unterschiedlicher Steigung.