Schiefer Wurf mit Luftwiderstand: schrittweise Berechnung
Warum es keine Formel mehr gibt
Beim schiefen Wurf ohne Luftwiderstand ließ sich die Bahn mit der Wurfparabel exakt beschreiben, weil die Bewegungen in x- und y-Richtung unabhängig voneinander waren. Mit Luftwiderstand ist das nicht mehr so:
• Der Luftwiderstand hängt vom Betrag der Bahngeschwindigkeit v = √(vx² + vy²) ab – und zwar quadratisch.
• Er wirkt immer genau entgegen der Bewegungsrichtung, hat also eine x- und eine y-Komponente.
• Ändert sich die vertikale Geschwindigkeit vy, ändert sich der Betrag v und damit auch die bremsende Kraft in x-Richtung. Die beiden Richtungen sind gekoppelt.
Für diese gekoppelte Bewegung gibt es keine geschlossene Formel für die Bahnkurve mehr. Man berechnet sie deshalb numerisch: Die Flugdauer wird in viele sehr kleine Zeitschritte Δt zerlegt, und die Größen werden Schritt für Schritt berechnet – zum Beispiel in einer Tabellenkalkulation wie Excel oder direkt hier im Browser.
Die Idee: Innerhalb eines kleinen Zeitschritts ist die Beschleunigung konstant
Innerhalb eines sehr kurzen Zeitschritts (z. B. 10 ms) ändert sich die Geschwindigkeit kaum, also auch der Luftwiderstand kaum. Man darf dann in guter Näherung annehmen, dass die Kraft – und damit die Beschleunigung – während dieses Zeitschritts konstant ist. Dann gelten innerhalb eines Schritts wieder die bekannten Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung, mit den Werten vom Anfang des Schritts als Anfangswerten:
Dieses schrittweise Vorgehen heißt Euler-Verfahren. Aneinandergereiht ergeben die vielen kleinen Schritte die gesamte Bahn.
Ein Rechenschritt im Detail
Für jeden Zeitschritt (jede Zeile der Tabelle) berechnet man nacheinander:
1. Bahngeschwindigkeit aus den Komponenten: v = √(vx² + vy²) und die Bewegungsrichtung φ = arctan(vy/vx).
2. Luftwiderstand: F = ½ · cw · A · ρ · v² mit der Kreisfläche A = π/4 · d².
3. Komponenten der Kraft, entgegen der Bewegungsrichtung (daher das Minus): Fx = −F · cos φ, Fy = −F · sin φ. Gleichwertig und ohne Winkel: Fx = −F · vx/v, Fy = −F · vy/v – diese Form funktioniert auch, wenn der Körper senkrecht fliegt oder sich rückwärts bewegt.
4. Beschleunigungen nach F = m · a: ax = Fx/m und ay = Fy/m − g – in y-Richtung wirkt zusätzlich die Fallbeschleunigung.
5. Neue Werte nach Δt mit den Bewegungsgleichungen von oben; Zeit tneu = t + Δt.
Die Berechnung wird fortgesetzt, bis y den Wert null erreicht oder unterschreitet – dann ist der Körper am Boden.
Startzeile (t = 0): vx = 2 · cos 60° = 1 m/s, vy = 2 · sin 60° ≈ 1,732 m/s, v = 2 m/s, A = π/4 · 0,1² ≈ 0,007854 m²
F = ½ · 0,5 · 0,007854 · 1,2 · 2² N ≈ 0,00942 N, Fx ≈ −0,00471 N, Fy ≈ −0,00816 N
ax = −0,00471 N / 0,01 kg ≈ −0,471 m/s², ay = −0,00816 N / 0,01 kg − 9,81 m/s² ≈ −10,626 m/s²
Nächste Zeile (t = 0,01 s): x = 0 + 1 · 0,01 + ½ · (−0,471) · 0,01² ≈ 0,00998 m, y ≈ 1,01679 m, vx ≈ 0,9953 m/s, vy ≈ 1,6258 m/s
Einfluss der Masse
Der Vergleich mit der Bahn ohne Luftwiderstand zeigt: Mit Luftreibung erreicht die Kugel weder dieselbe Höhe noch dieselbe Weite. Entscheidend ist die Masse, denn die bremsende Beschleunigung ist FL/m: Dieselbe Luftwiderstandskraft bremst eine leichte Kugel viel stärker als eine schwere.
| Masse der Kugel (d = 10 cm) | 1 g | 10 g | 50 g | 100 g | 1 kg |
|---|---|---|---|---|---|
| Wurfweite mit Luft | 0,308 m | 0,596 m | 0,647 m | 0,654 m | 0,661 m |
| in % der Weite ohne Luft | 47 % | 90 % | 98 % | 99 % | 100 % |
Bei 1 kg verlaufen beide Bahnen praktisch gleich – der Luftwiderstand ist vernachlässigbar. Bei 1 g ist die Weite dagegen um mehr als die Hälfte reduziert, und die Bahn ist nicht mehr symmetrisch: Sie fällt am Ende steiler ab, als sie gestiegen ist.
Einfluss des Zeitschritts
Die Rechnung beruht auf der Annahme, dass die Beschleunigung innerhalb eines Zeitschritts konstant ist. Das stimmt umso besser, je kleiner Δt ist. Für die 1-g-Kugel ergibt sich:
| Zeitschritt Δt | Zeitschritte | Wurfweite |
|---|---|---|
| 0,1 s | 8 | 0,221 m |
| 0,01 s | 83 | 0,302 m |
| 0,001 s | 832 | 0,308 m |
| 0,0001 s | 8326 | 0,308 m |
Mit Δt = 0,1 s ist die Kugel schon nach 8 Zeitschritten am Boden – das Ergebnis ist ungenau. Von 10 ms auf 1 ms ändert sich die Weite noch um knapp 1 cm, von 1 ms auf 0,1 ms nur noch in der dritten Nachkommastelle. Ein noch kleinerer Zeitschritt steigert also nur den Rechenaufwand (bei 0,1 ms schon über 8000 Schritte), ohne das Ergebnis praktisch zu verbessern. Ein Zeitschritt von etwa 1 ms ist ein guter Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand.
Terme höherer Ordnung vernachlässigen
Bei sehr kleinen Zeitschritten kann man die Rechnung sogar noch vereinfachen. In xneu = x + vx · Δt + ½ · ax · Δt² ist der letzte Term winzig: Mit Δt = 0,001 s ist Δt² = 0,000001 s² – tausendmal kleiner als Δt. Der quadratische Term hat deshalb praktisch keinen Einfluss auf das Ergebnis; die Positionen ändern sich erst in der vierten Nachkommastelle.
Auch physikalisch ist das einleuchtend: In einer Millisekunde kann sich die Geschwindigkeit kaum ändern. Innerhalb eines Zeitschritts darf man daher mit konstanter Geschwindigkeit rechnen:
Erst durch das Aneinanderreihen der vielen kleinen Schritte – in denen sich die Geschwindigkeit jeweils ein wenig ändert – ergibt sich wieder die beschleunigte Gesamtbewegung. Diese Vereinfachung spart Rechenaufwand, ohne das Ergebnis merklich zu verändern. Im Widget kannst du sie mit dem Kästchen „Terme höherer Ordnung weglassen“ ausprobieren.