Abbremsen bis zum Stillstand

Bisher haben wir Bewegungen betrachtet, bei denen die Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt. Jetzt geht es um Bewegungen, bei denen sie gleichmäßig abnimmt. Solche Bewegungen zählen physikalisch ebenfalls zu den Beschleunigungsvorgängen – die Geschwindigkeit ändert sich ja mit der Zeit. Umgangssprachlich spricht man von Abbremsvorgängen, Verzögerungen oder – etwas unpräzise – von negativen Beschleunigungen.

Beispiel: Ein Auto fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v₀ = 8 m/s. Auf Höhe eines Verkehrsschildes beginnt es, mit der konstanten Verzögerung a = 1 m/s² abzubremsen, bis es steht. Ab diesem Moment zählen wir die Zeit (t = 0). In diesem Kapitel bezeichnet a den Betrag der Verzögerung (a > 0); das Minuszeichen steht in den Formeln.

Im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm startet die Bewegung bei v₀ = 8 m/s. Jede Sekunde wird das Auto um 1 m/s langsamer: 8, 7, 6, … m/s. Es ergibt sich eine fallende Gerade. Nach der Bremszeit t_B = 8 s ist das Auto zum Stillstand gekommen.

Im Zeit-Positions-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit. Zu Beginn ist die Kurve deshalb steil; da die Geschwindigkeit abnimmt, wird sie immer flacher, bis sie beim Stillstand in eine waagrechte Linie (Steigung 0) übergeht. Die ab Beginn der Bremsung bis zum Stillstand zurückgelegte Strecke heißt Bremsweg s_B – hier 32 m.

Bremszeit und Bremsweg: der rückwärts laufende Film

Wie berechnet man allgemein Bremszeit und Bremsweg aus Anfangsgeschwindigkeit und Verzögerung? Stell dir vor, du hättest den Bremsvorgang mit einer Videokamera gefilmt und spielst die Aufnahme rückwärts ab. Dann sieht es so aus, als würde das Auto aus der Ruhe gleichmäßig auf die Geschwindigkeit v₀ beschleunigen: Die Bremszeit wird zur Beschleunigungszeit, der Bremsweg zur Beschleunigungsstrecke.

Für den Start aus der Ruhe kennen wir aus Lerneinheit 4 die Formeln v = a · t und s = ½ · a · t². Im „rückwärts laufenden Film“ ist die erreichte Geschwindigkeit v₀, die Zeit t_B und die Strecke s_B:

Umstellen der linken Gleichung nach t_B liefert die Bremszeit; Einsetzen in die rechte Gleichung den Bremsweg:

Beispiel: t_B = 8 m/s / 1 m/s² = 8 s, s_B = (8 m/s)² / (2 · 1 m/s²) = 32 m ✓

Vorsicht: Grenzen dieser Formeln

Die Formeln v₀ = a · t_B und s_B = ½ · a · t_B² gelten nur für die vollständige Abbremsung – mit der Bremszeit t_B und dem Bremsweg s_B. Sie sind keine Bewegungsgleichungen: Sie beschreiben nicht den Verlauf der Kurven, man kann damit also weder die Geschwindigkeit noch die Strecke zu einem beliebigen Zeitpunkt t berechnen.

Beispiel t = 5 s: Aus den Diagrammen liest man v = 3 m/s und eine bis dahin zurückgelegte Strecke von 27,5 m ab. Setzt man t = 5 s fälschlich in die Formeln ein, erhält man v = 1 m/s² · 5 s = 5 m/s und s = ½ · 1 m/s² · (5 s)² = 12,5 m – beides falsch!

Warum? Die Formeln stammen aus einem Beschleunigungsvorgang aus der Ruhe, den wir nur rückwärts abgespielt haben. Drehen wir den Film aber zum Zeitpunkt t = 5 s um, startet der „Rückwärtsfilm“ nicht aus der Ruhe, sondern mit der Geschwindigkeit 3 m/s – es ist dann eine Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit, für die andere Gesetzmäßigkeiten gelten. Deshalb brauchen wir eigene Bewegungsgleichungen.

Die Bewegungsgleichungen für das Abbremsen

Geschwindigkeit: Von der Anfangsgeschwindigkeit v₀ wird die bis zum Zeitpunkt t erfolgte Geschwindigkeitsänderung Δv = a · t abgezogen:

Mathematisch ist das eine Geradengleichung mit dem y-Achsenabschnitt v₀ und der Steigung −a. Beispiel: v(5 s) = 8 m/s − 1 m/s² · 5 s = 3 m/s ✓

Zurückgelegte Strecke: Sie ist die Fläche unter der Geraden im v(t)-Diagramm. Diese Fläche erhält man, indem man von der Rechteckfläche s₁ (Höhe v₀, Breite t) die Dreiecksfläche s₂ (Höhe Δv = a · t, Breite t) abzieht:

Beispiel: s(5 s) = 8 m/s · 5 s − ½ · 1 m/s² · (5 s)² = 40 m − 12,5 m = 27,5 m ✓. Wieder eine quadratische Funktion – wegen des Minuszeichens vor dem t²-Term eine nach unten geöffnete Parabel.

Bremszeit und Bremsweg – aus den Bewegungsgleichungen hergeleitet

Mit den Bewegungsgleichungen lassen sich Bremszeit und Bremsweg auch direkt herleiten – als Kontrolle für den „Film-Trick“:

1. Bremszeit: Das Auto steht, wenn die Geschwindigkeit null ist: v(t_B) = v₀ − a · t_B = 0 ⇒ t_B = v₀/a.
2. Bremsweg: t_B in die Weggleichung einsetzen:
s_B = v₀ · (v₀/a) − ½ · a · (v₀/a)²
3. Im ersten Term v₀ · v₀ = v₀² zusammenfassen; im zweiten Term Zähler und Nenner quadrieren: (v₀/a)² = v₀²/a²:
s_B = v₀²/a − ½ · a · v₀²/a²
4. Im zweiten Term ein a kürzen: ½ · a · v₀²/a² = ½ · v₀²/a. Vom ganzen Quotienten v₀²/a wird also die Hälfte abgezogen:
s_B = v₀²/a − ½ · v₀²/a = ½ · v₀²/a = v₀²/(2a) ✓

Abbremsen auf eine Endgeschwindigkeit

Nicht jede Bremsung endet im Stillstand – ein Zug kann zum Beispiel von 180 km/h auf 72 km/h abbremsen. Dann gelten die Bewegungsgleichungen bis zum Ende der Bremsphase. Zusätzlich sind zwei Formen praktisch:

• Trapezformel: Die Geschwindigkeit sinkt gleichmäßig von v₀ auf v, der Mittelwert ist v̄ = (v₀ + v)/2, also Δs = (v₀ + v)/2 · t.
• Zeitfreie Gleichung (wie in Lerneinheit 5, mit −a): v₀² − v² = 2 · a · Δs ⇒ Δs = (v₀² − v²)/(2a). Für v = 0 ergibt sich wieder s_B = v₀²/(2a).

Vergleich: Beschleunigen und Bremsen

Dreht man eine Bremsung zu einem beliebigen Zeitpunkt um, erhält man eine Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit. Vergleicht man die Bewegungsgleichungen beider Vorgänge, unterscheiden sie sich nur im Vorzeichen vor dem Beschleunigungsterm:

Man kann beide Bewegungen also mit denselben Formeln beschreiben, wenn man die Verzögerung als negativen Beschleunigungswert einsetzt – deshalb spricht man auch von „negativer Beschleunigung“. In Lerneinheit 7 sehen wir, dass das Vorzeichen genau genommen von der gewählten positiven Richtung abhängt.

Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg

Erkennt eine Autofahrerin eine Gefahr, vergeht zunächst die Reaktionszeit t_R (Schrecksekunde, Fuß vom Gas auf die Bremse), in der das Auto ungebremst mit v₀ weiterfährt. Erst dann beginnt die Bremsung. Der gesamte Anhalteweg setzt sich zusammen aus:

(Hier und in den Aufgaben wird die Verzögerung oft a_B genannt – „B“ wie Bremsen.) Im v(t)-Diagramm ist der Reaktionsweg ein Rechteck, der Bremsweg das anschließende Dreieck.

Übliche Reaktionszeiten liegen bei etwa 1 s; bei Müdigkeit, Ablenkung (Handy!) oder Alkohol deutlich darüber.

Kurze Bremswege, riesige Verzögerungen: die Knautschzone

Aus s_B = v₀²/(2a_B) folgt umgekehrt a_B = v₀²/(2s_B): Je kürzer der Bremsweg, desto größer die Verzögerung. Bei einem Aufprall ist der „Bremsweg“ nur so lang, wie sich das Auto verformen kann. Verzögerungen ab etwa 150 m/s² (≈ 15 g) können für Menschen tödlich sein. Eine Knautschzone verlängert gezielt den Verformungsweg und senkt so die Verzögerung für die Insassen.

Kurze Bremswege, riesige Verzögerungen: die Knautschzone

Aus s_B = v₀²/(2a_B) folgt umgekehrt a_B = v₀²/(2s_B): Je kürzer der Bremsweg, desto größer die Verzögerung. Bei einem Aufprall ist der „Bremsweg“ nur so lang, wie sich das Auto verformen kann. Verzögerungen ab etwa 150 m/s² (≈ 15 g) können für Menschen tödlich sein. Eine Knautschzone verlängert gezielt den Verformungsweg und senkt so die Verzögerung für die Insassen.