Gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe
Gleichmäßig beschleunigt aus der Ruhe – der Aufbau
Nun wollen wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auch rechnerisch beschreiben. Wir betrachten ein Auto, das an einer Ampel aus der Ruhe heraus mit der konstanten Beschleunigung a = 2,5 m/s² anfährt. Die Zeit t zählt ab dem Moment des Anfahrens (t = 0), gemessen wird die seitdem zurückgelegte Strecke s.
Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit
Aus der Definition der Beschleunigung a = Δv/Δt erhält man durch Umstellen Δv = a · Δt. Beim Start aus der Ruhe gilt:
• Die Zeitspanne seit dem Anfahren ist Δt = t − 0 = t.
• Die Geschwindigkeitsänderung ist Δv = v(t) − 0 = v(t), weil die Anfangsgeschwindigkeit null ist.
Also gilt:
Im v(t)-Diagramm ist das eine Ursprungsgerade mit der Steigung a. Für unser Auto: v(6 s) = 2,5 m/s² · 6 s = 15 m/s.
Das Zeit-Positions-Diagramm
Anders als bei einer gleichförmigen Bewegung legt ein Körper bei einer beschleunigten Bewegung in gleichen Zeitabschnitten nicht mehr gleiche Strecken zurück: Bei höherer Geschwindigkeit schafft er in derselben Zeit mehr Strecke. Das Auto legt zum Beispiel in der 4. Sekunde 8,75 m zurück, in der 8. Sekunde wegen der höheren Geschwindigkeit schon 18,75 m.
Da die Steigung im s(t)-Diagramm die Geschwindigkeit ist und die Geschwindigkeit ständig zunimmt, muss auch die Steigung immer größer werden: Die Kurve verläuft immer steiler. Es entsteht eine nach oben geöffnete Parabel, die im Ursprung waagrecht beginnt (dort ist v = 0).
Der Weg: Vorsicht Denkfehler!
Wir suchen eine Formel, mit der man die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke s berechnen kann. Naheliegend ist folgender Weg: Man nimmt die Formel für die Geschwindigkeit v = Δs/Δt, ersetzt Δt durch t und Δs durch s und stellt nach s um: s = v · t. Für v setzt man die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t aus (1.12) ein: s = a · t · t = a · t².
Prüfen wir das am Beispiel t = 6 s:
• Aus der Beschleunigung: v = a · t = 2,5 m/s² · 6 s = 15 m/s. Das ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt 6 s – im v(t)-Diagramm leicht nachprüfbar.
• Aus dem s(t)-Diagramm liest man bei 6 s die Strecke 45 m ab. Mit v = s/t erhält man 45 m / 6 s = 7,5 m/s – nur halb so viel!
Der Unterschied: s/t ist die Durchschnittsgeschwindigkeit v̄ in den ersten 6 s – die gesamte Strecke geteilt durch die gesamte Zeit. Das Auto kam in 6 s insgesamt 45 m weit, im Mittel also mit 7,5 m/s. Die Formel v = s/t muss deshalb korrekt lauten:
Durchschnittsgeschwindigkeit = halbe Endgeschwindigkeit
Dass die Durchschnittsgeschwindigkeit (7,5 m/s) genau die Hälfte der Momentangeschwindigkeit (15 m/s) ist, ist kein Zufall: Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig von 0 auf v. In der ersten Zeithälfte ist das Auto um genau so viel langsamer als v/2, wie es in der zweiten Zeithälfte schneller ist (die Gerade ist punktsymmetrisch zu ihrem Mittelpunkt). Im zeitlichen Mittel ergibt sich deshalb genau v/2.
Im Diagramm: Die orange Linie bei v̄ = 7,5 m/s schneidet von der Dreiecksfläche links oben genau so viel ab, wie sie rechts unten hinzufügt – das Rechteck v̄ · t hat dieselbe Fläche wie das Dreieck.
Jetzt lässt sich die Herleitung richtig zu Ende führen:
Zweiter Weg: die Fläche unter der v(t)-Kurve
Dieselbe Formel erhält man sehr anschaulich über das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm: Die Fläche unter der Kurve ist die Positionsänderung, hier die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke. Die Fläche ist ein Dreieck mit der Breite t und der Höhe v(t) = a · t:
Für unser Auto: s(6 s) = ½ · 2,5 m/s² · (6 s)² = ½ · 2,5 m/s² · 36 s² = 45 m ✓
Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit, die zurückgelegte Strecke quadratisch.
Doppelte Zeit ⇒ doppelte Geschwindigkeit, aber vierfache Strecke. Dreifache Zeit ⇒ neunfache Strecke.
| t in s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| v in m/s | 0 | 2,5 | 5 | 7,5 | 10 | 12,5 | 15 |
| s in m | 0 | 1,25 | 5 | 11,25 | 20 | 31,25 | 45 |
| Strecke in dieser Sekunde | 1,25 | 3,75 | 6,25 | 8,75 | 11,25 | 13,75 |
Befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t = 0 nicht im Ursprung, sondern an der Position s0, addiert man die Anfangsposition zur Positionsänderung:
Beschleunigungsstrecke in Abhängigkeit der Geschwindigkeit
Mit den beiden Formeln kann man zu jedem Zeitpunkt Geschwindigkeit und Strecke berechnen. Oft interessiert aber, welche Strecke nötig ist, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen – ohne dass die Zeit gegeben ist. Eine Startbahn muss zum Beispiel mindestens so lang sein, wie ein Flugzeug bis zum Erreichen der Abhebegeschwindigkeit braucht.
Herleitung – wir eliminieren die Zeit t:
1. Aus v = a · t folgt die benötigte Beschleunigungsdauer: t = v/a.
2. Einsetzen in s = ½ · a · t²: s = ½ · a · (v/a)².
3. Klammer auflösen – Zähler und Nenner quadrieren: (v/a)² = v²/a², also s = ½ · a · v²/a².
4. Ein a kürzt sich gegen das a² im Nenner:
s = v²/(2a) = (75 m/s)² / (2 · 2 m/s²) = 5625 m²/s² / 4 m/s² ≈ 1406 m
Einheitenkontrolle: (m²/s²)/(m/s²) = m ✓. Die Startdauer ist t = v/a = 37,5 s.
Alle Formeln auf einen Blick
| gesucht | gegeben: a und t | gegeben: a und s | gegeben: v und s | gegeben: v und t |
|---|---|---|---|---|
| Geschwindigkeit v | v = a · t | v = √(2as) | – | – |
| Strecke s | s = ½ · a · t² | – | – | s = ½ · v · t |
| Zeit t | – | t = √(2s/a) | t = 2s/v | – |
| Beschleunigung a | – | – | a = v²/(2s) | a = v/t |
Alle Formeln gelten nur für eine konstante Beschleunigung aus der Ruhe. Die Formeln mit Wurzel erhält man durch Umstellen: z. B. s = ½at² ⇒ t² = 2s/a ⇒ t = √(2s/a).