Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Rückblick: Beschleunigung aus der Ruhe
Startet ein Auto zum Zeitpunkt t = 0 aus der Ruhe mit konstanter Beschleunigung, nimmt seine Geschwindigkeit gleichmäßig zu: v = a · t (Ursprungsgerade im v(t)-Diagramm). Die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke ist die Dreiecksfläche unter der Geraden: s = ½ · a · t². Die Strecke wächst quadratisch mit der Zeit.
Beschleunigen mit Anfangsgeschwindigkeit
Jetzt soll das Auto zum Zeitpunkt t = 0 nicht aus der Ruhe starten, sondern bereits eine Geschwindigkeit besitzen. Beispiel: Ein Auto fährt mit konstant v0 = 8 m/s. Ab dem nächsten Tempolimit-Schild tritt die Fahrerin aufs Gaspedal und beschleunigt konstant mit a = 1 m/s². Genau in diesem Moment starten wir die Beobachtung: t = 0. Die Größe v0 („v null“) heißt Anfangsgeschwindigkeit – die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0.
Die Geschwindigkeit
Zum Zeitpunkt t = 0 hat das Auto die Geschwindigkeit v₀. Wegen a = 1 m/s² wird es in jeder Sekunde um 1 m/s schneller: 8, 9, 10, 11 … m/s. Um die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t zu erhalten, addiert man zur Anfangsgeschwindigkeit die in der Zeit t erfolgte Geschwindigkeitsänderung Δv = a · t:
Mathematisch ist das eine Geradengleichung mit dem y-Achsenabschnitt v0 und der Steigung a. Im Vergleich zum Start aus der Ruhe ist die Gerade einfach um v₀ nach oben verschoben. Für das Beispiel: v(10 s) = 1 m/s² · 10 s + 8 m/s = 18 m/s.
Die zurückgelegte Strecke – Trapezfläche
Die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke ist wieder die Fläche unter der v(t)-Kurve – jetzt ein Trapez. Der Einfachheit halber zerlegt man es in ein Rechteck und ein Dreieck:
• Dreieck mit der Breite t und der Höhe Δv = a · t – der Weganteil, der durch die Beschleunigung zustande kommt:
• Rechteck mit der Breite t und der Höhe v₀ – der Weganteil, den das Auto allein wegen der Anfangsgeschwindigkeit zurücklegt:
Beide Flächen zusammen ergeben die insgesamt bis zum Zeitpunkt t vollzogene Positionsänderung:
Für das Beispiel: Δs(10 s) = ½ · 1 m/s² · (10 s)² + 8 m/s · 10 s = 50 m + 80 m = 130 m.
Weil die Geschwindigkeit mit Anfangsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt größer ist als beim Start aus der Ruhe, legt das Auto in jedem Zeitabschnitt mehr Strecke zurück. Die Kurve im s(t)-Diagramm ist deshalb von Anfang an steiler – ihre Anfangssteigung ist v₀. Es ist wieder eine Parabel (quadratische Funktion von t).
Befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t = 0 an der Position s0, erhält man seine Position zum Zeitpunkt t, indem man die Positionsänderung zur Anfangsposition addiert:
Beide Gleichungen gelten nur für eine konstante Beschleunigung: a(t) = a = konstant.
Spezialfall: Setzt man v0 = 0, erhält man genau die Formeln für den Start aus der Ruhe – dieser ist also nur ein Sonderfall.
Die zeitfreie Gleichung
Wie beim Start aus der Ruhe gibt es auch hier eine Gleichung, in der die Zeit nicht vorkommt. Sie ist besonders praktisch, wenn Geschwindigkeiten und Strecke, aber keine Zeit gegeben sind. Herleitung:
1. Aus v = a · t + v0 folgt t = (v − v0)/a.
2. Mit der Trapezformel: Δs = (v0 + v)/2 · t = (v0 + v)/2 · (v − v0)/a.
3. Im Zähler steht (v + v0) · (v − v0) = v² − v0² (3. binomische Formel), also Δs = (v² − v0²)/(2a).
4. Mit 2a multiplizieren und umstellen:
Für v0 = 0 ergibt sich wieder s = v²/(2a) aus Lerneinheit 4.
v = √(v0² + 2 · a · Δs) = √((10 m/s)² + 2 · 1 m/s² · 150 m) = √(400 m²/s²) = 20 m/s
Kontrolle: t = (v − v0)/a = 10 s, Δs = (10 + 20)/2 m/s · 10 s = 150 m ✓