Beschleunigte Bewegungen im Koordinatensystem
Bewegungen im Koordinatensystem beschreiben
Wir wollen nun Gleichungen aufstellen, mit denen man in einem beliebigen Koordinatensystem die Position und die Geschwindigkeit eines Körpers mit konstanter Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt berechnen kann. Dazu betrachten wir ein Auto, das sich mit konstanter Beschleunigung auf einer Straße bewegt.
Um überhaupt sagen zu können, wo sich das Auto befindet, legen wir zuerst ein Koordinatensystem fest – wie bei den gleichförmigen Bewegungen:
2. Positive Richtung: hier nach rechts (Pfeil s in der Skizze).
3. Zeitnullpunkt (t = 0): der Beginn der Beobachtung. Alle Größen mit Index 0 (s0, v0) beschreiben den Zustand zu diesem Zeitpunkt – die Anfangsbedingungen.
Die allgemeinen Bewegungsgleichungen
Für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung a hat der Körper zum Zeitpunkt t = 0 im Allgemeinen eine Anfangsposition s0 und eine Anfangsgeschwindigkeit v0. Die Gleichungen haben wir in den Lerneinheiten 5 und 6 bereits hergeleitet:
• Geschwindigkeit: Zur Anfangsgeschwindigkeit v₀ kommt die Geschwindigkeitsänderung Δv = a · t hinzu.
• Position: Zur Anfangsposition s₀ kommt die Positionsänderung Δs = ½ · a · t² + v0 · t hinzu.
Mit diesen Gleichungen ist die Bewegung allein aus den Anfangsbedingungen s0, v0 und der Beschleunigung a vollständig beschrieben.
Beispiel 1: Beschleunigen
Zum Zeitpunkt t = 0 ist das Auto 100 m vom Ortsschild entfernt (s0 = 100 m) und fährt mit v0 = 10 m/s in positive Richtung vom Ortsschild weg. Es beschleunigt konstant mit 2 m/s² – ebenfalls in positive Richtung.
Im s(t)-Diagramm ergibt sich ab s₀ der für beschleunigte Bewegungen typische parabelförmige Verlauf. Die Steigung ist zu Beginn gleich v₀ = 10 m/s; da das Auto immer schneller wird, steigt die Kurve immer steiler an.
Einsetzen in die Bewegungsgleichungen:
v(t) = 2 m/s² · t + 10 m/s
s(t) = ½ · 2 m/s² · t² + 10 m/s · t + 100 m = 1 m/s² · t² + 10 m/s · t + 100 m
Zum Zeitpunkt t = 10 s:
v(10 s) = 20 m/s + 10 m/s = 30 m/s
s(10 s) = 100 m + 100 m + 100 m = 300 m – das Auto ist 300 m vom Ortsschild entfernt.
Beispiel 2: Bremsen
Jetzt fährt das Auto bei s0 = 100 m mit v0 = 30 m/s in positive Richtung und bremst mit einer Verzögerung von 2 m/s². Da das Auto langsamer wird, zeigt der Beschleunigungspfeil entgegen der Geschwindigkeit – also in negative Koordinatenrichtung. Deshalb ist a = −2 m/s²:
v(t) = −2 m/s² · t + 30 m/s
s(t) = −1 m/s² · t² + 30 m/s · t + 100 m
Im s(t)-Diagramm ist die Parabel jetzt nach unten geöffnet: Zu Beginn steigt die Kurve steil (hohe Geschwindigkeit), dann flacht sie ab. Einige Zeitpunkte:
| t in s | s(t) in m | v(t) in m/s | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| 10 | 300 | 10 | Das Auto fährt noch in positive Richtung, ist aber langsamer geworden. |
| 15 | 325 | 0 | Stillstand – der Scheitelpunkt der Parabel. |
| 18 | 316 | −6 | rein rechnerisch: Das Auto fährt „im Rückwärtsgang“ zurück (v < 0). |
| 35 | −75 | −40 | rein rechnerisch: Es hat das Ortsschild rückwärts passiert (s < 0). |
Die negativen Werte passen zur Vorzeichenkonvention: v < 0 heißt „Bewegung entgegen der positiven Richtung“, s < 0 heißt „auf der anderen Seite des Ursprungs“. Ein reales bremsendes Auto bleibt aber nach 15 s stehen – der Bremsvorgang endet mit dem Stillstand. Die Gleichungen beschreiben die Bewegung nur bis dahin.
Beispiel 2: t = −30 m/s / (−2 m/s²) = 15 s; s(15 s) = −225 m + 450 m + 100 m = 325 m.
Die Vorzeichen – nicht „Beschleunigung oder Bremsung“, sondern die Richtung!
Beim Vergleich der Gleichungen von Beispiel 1 und 2 unterscheiden sie sich nur im Vorzeichen des Beschleunigungsterms. Man könnte meinen: Bremsen ⇒ a negativ. Das stimmt aber nur, weil wir die positive Richtung so gewählt haben, dass das Auto in positive Richtung fährt. Tatsächlich hängt das Vorzeichen allein von der Richtung des Beschleunigungspfeils im gewählten Koordinatensystem ab.
Geschwindigkeit, Beschleunigung und Position haben neben einem Betrag auch eine Richtung – solche Größen heißen Vektoren (Pfeile). In einer eindimensionalen Bewegung gibt ihr Vorzeichen die Richtung an:
• Wird der Körper schneller, zeigen a und v in dieselbe Richtung (gleiche Vorzeichen).
• Wird der Körper langsamer (Verzögerung), zeigen a und v in entgegengesetzte Richtungen (verschiedene Vorzeichen).
Eine Verzögerung ist also nicht automatisch negativ – das hängt vom Koordinatensystem ab!
• s0 = +400 m (rechts vom Ursprung)
• v0 = −30 m/s (fährt nach links)
• a = +2 m/s² – obwohl das Auto bremst, weil der Beschleunigungspfeil entgegen der Fahrtrichtung, also nach rechts zeigt!
s(t) = 1 m/s² · t² − 30 m/s · t + 400 m, v(t) = 2 m/s² · t − 30 m/s
Stillstand: t = −(−30)/2 s = 15 s, Position s(15 s) = 225 − 450 + 400 = 175 m.
Spezialfall: konstante Geschwindigkeit
Die allgemeinen Bewegungsgleichungen wurden für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung hergeleitet. Sie gelten aber für jede Bewegung mit konstanter Beschleunigung – auch für den Spezialfall a = 0! Dann ändert sich die Geschwindigkeit nicht, und die Terme mit a fallen weg:
Das ist genau die Geradengleichung der gleichförmigen Bewegung aus dem Thema Geschwindigkeit. Ebenso ergibt sich mit s0 = 0 und v0 = 0 der Start aus der Ruhe: v = a · t, s = ½ · a · t² (1.26–1.27). Die allgemeinen Gleichungen enthalten also alle Fälle dieses Kapitels.
Zeitpunkte berechnen: quadratische Gleichungen
Wird gefragt, wann ein Körper eine bestimmte Position erreicht, setzt man s(t) gleich dieser Position. Wegen des t²-Terms entsteht eine quadratische Gleichung. Man bringt alles auf eine Seite und löst mit der Lösungsformel („Mitternachtsformel“):
Ansatz (Einheiten weggelassen, t in s): t² + 10t + 100 = 400 ⇒ t² + 10t − 300 = 0
t1,2 = (−10 ± √(100 + 1200))/2 = (−10 ± 36,06)/2 ⇒ t1 ≈ 13,0 s, t2 ≈ −23,0 s
Die negative Lösung liegt vor dem Beobachtungsbeginn; sie gehört zu einer Bewegung, die das Auto so gar nicht gemacht hat (es müsste vorher rückwärts gefahren sein). Physikalisch sinnvoll ist t ≈ 13,0 s.
Treffpunkte zweier Körper
Zwei Körper sind gleichauf, wenn sie zur gleichen Zeit an der gleichen Position sind: s1(t) = s2(t). Beide Gleichungen müssen sich auf dasselbe Koordinatensystem beziehen. Gleichsetzen und alles auf eine Seite bringen ergibt wieder eine quadratische Gleichung (oder eine lineare, wenn beide dieselbe Beschleunigung haben).
sA(t) = 1 m/s² · t², sR(t) = 6 m/s · t
Gleichsetzen: t² = 6t ⇒ t² − 6t = 0 ⇒ t · (t − 6) = 0 ⇒ t = 0 (Start) oder t = 6 s; Position: s = 36 m.
Zu diesem Zeitpunkt ist das Auto mit v = 12 m/s genau doppelt so schnell wie der Radfahrer – das passt: Seine Durchschnittsgeschwindigkeit seit dem Start ist v/2 = 6 m/s, also gleich der des Radfahrers.