Aufgabe 7.1
Auto und Motorrad I
Ein Auto befindet sich zu Beobachtungsbeginn (t = 0) 100 m hinter einem Ortsausgangsschild und fährt mit 15 m/s in positive Richtung vom Schild weg. Gleichzeitig beschleunigt es mit 1,5 m/s². Ein Motorrad fährt auf der Gegenfahrbahn in entgegengesetzter Richtung: Bei t = 0 ist es 200 m vom Ortseingangsschild (auf der Rückseite desselben Schildes) entfernt und fährt mit 30 m/s auf das Schild zu, während es mit einer konstanten Verzögerung von 2 m/s² abbremst. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt am Ortsschild, die positive Richtung zeigt nach rechts.
a) Zeichne für das Auto und das Motorrad die Anfangsvektoren s0, v0 und a in eine Skizze ein.
Ortsvektoren beginnen im Ursprung. Das Auto wird schneller (a in Fahrtrichtung), das Motorrad bremst (a entgegen der Fahrtrichtung).
Beide Ortsvektoren zeigen vom Ortsschild nach rechts (100 m bzw. 200 m). Der Geschwindigkeitspfeil des Autos zeigt nach rechts, der des Motorrads nach links. Die Beschleunigung des Autos zeigt nach rechts (es wird schneller); die des Motorrads zeigt ebenfalls nach rechts – entgegen seiner Fahrtrichtung, weil es bremst.
b) Stelle die Bewegungsgleichungen sA(t) und vA(t) des Autos auf.
Alle drei Pfeile des Autos zeigen in positive Richtung ⇒ alle Größen positiv.
s0,A = +100 m, v0,A = +15 m/s, aA = +1,5 m/s²
sA(t) = ½ · 1,5 m/s² · t² + 15 m/s · t + 100 m = 0,75 m/s² · t² + 15 m/s · t + 100 m
vA(t) = 1,5 m/s² · t + 15 m/s
sA(t) = ½ · 1,5 m/s² · t² + 15 m/s · t + 100 m = 0,75 m/s² · t² + 15 m/s · t + 100 m
vA(t) = 1,5 m/s² · t + 15 m/s
c) Welche Geschwindigkeit hat das Auto nach 4 Sekunden, und an welcher Position befindet es sich?
t = 4 s in die Gleichungen aus b) einsetzen.
vA(4 s) = 1,5 · 4 + 15 = 21 m/s
sA(4 s) = 0,75 · 16 + 15 · 4 + 100 = 12 + 60 + 100 = 172 m
sA(4 s) = 0,75 · 16 + 15 · 4 + 100 = 12 + 60 + 100 = 172 m
d) Nach welcher Zeit und an welcher Stelle hat das Auto eine Geschwindigkeit von 24 m/s erreicht?
Setze vA(t) = 24 m/s und löse nach t auf. Dann t in sA(t) einsetzen.
1,5t + 15 = 24 ⇒ 1,5t = 9 ⇒ t = 6 s
sA(6 s) = 0,75 · 36 + 90 + 100 = 27 + 90 + 100 = 217 m
sA(6 s) = 0,75 · 36 + 90 + 100 = 27 + 90 + 100 = 217 m
e) In 325 m Entfernung nach dem Ortsausgangsschild hat die Polizei einen Blitzer aufgestellt. Mit welcher Geschwindigkeit misst die Polizei das Auto? Gib auch den Zeitpunkt an.
Setze sA(t) = 325 m – es entsteht eine quadratische Gleichung.
0,75t² + 15t − 225 = 0; durch 0,75 teilen: t² + 20t − 300 = 0
0,75t² + 15t + 100 = 325 ⇒ 0,75t² + 15t − 225 = 0 ⇒ t² + 20t − 300 = 0
t1,2 = (−20 ± √(400 + 1200))/2 = (−20 ± 40)/2 ⇒ t1 = 10 s (t₂ = −30 s ist nicht sinnvoll)
vA(10 s) = 1,5 · 10 + 15 = 30 m/s = 108 km/h – zu schnell, wenn dort ein Tempolimit gilt.
t1,2 = (−20 ± √(400 + 1200))/2 = (−20 ± 40)/2 ⇒ t1 = 10 s (t₂ = −30 s ist nicht sinnvoll)
vA(10 s) = 1,5 · 10 + 15 = 30 m/s = 108 km/h – zu schnell, wenn dort ein Tempolimit gilt.
f) Stelle die Bewegungsgleichungen sM(t) und vM(t) des Motorrads im selben Koordinatensystem auf.
Welche Pfeile des Motorrads zeigen in negative Richtung?
s0,M = +200 m, v0,M = −30 m/s (fährt nach links), aM = +2 m/s² (bremst ⇒ entgegen der Fahrtrichtung, also nach rechts)
sM(t) = ½ · 2 m/s² · t² − 30 m/s · t + 200 m = 1 m/s² · t² − 30 m/s · t + 200 m
vM(t) = 2 m/s² · t − 30 m/s
Die Gleichungen gelten bis zum Stillstand bei t = 15 s.
sM(t) = ½ · 2 m/s² · t² − 30 m/s · t + 200 m = 1 m/s² · t² − 30 m/s · t + 200 m
vM(t) = 2 m/s² · t − 30 m/s
Die Gleichungen gelten bis zum Stillstand bei t = 15 s.
g) Welche Geschwindigkeit (mit Vorzeichen) hat das Motorrad nach 4 Sekunden, und an welcher Position befindet es sich?
t = 4 s in die Gleichungen aus f) einsetzen.
vM(4 s) = 8 − 30 = −22 m/s (22 m/s nach links)
sM(4 s) = 16 − 120 + 200 = 96 m
sM(4 s) = 16 − 120 + 200 = 96 m
h) Nach welcher Zeit und an welcher Stelle ist das Motorrad nur noch 24 m/s schnell?
Das Motorrad fährt in negative Richtung – setze also vM(t) = −24 m/s.
2t − 30 = −24 ⇒ 2t = 6 ⇒ t = 3 s
sM(3 s) = 9 − 90 + 200 = 119 m
sM(3 s) = 9 − 90 + 200 = 119 m
i) Welche Geschwindigkeit (mit Vorzeichen) hat das Motorrad am Ortsschild?
Am Ortsschild ist sM(t) = 0. Löse die quadratische Gleichung.
Von den beiden Lösungen ist nur eine sinnvoll: Das Motorrad steht nach 15 s.
t² − 30t + 200 = 0 ⇒ t1,2 = (30 ± √(900 − 800))/2 = (30 ± 10)/2 ⇒ t1 = 10 s, t2 = 20 s
Da das Motorrad nach 15 s steht, ist nur t = 10 s sinnvoll (t = 20 s würde „rückwärts“ gefahren).
vM(10 s) = 20 − 30 = −10 m/s – also 36 km/h in negative Richtung.
Da das Motorrad nach 15 s steht, ist nur t = 10 s sinnvoll (t = 20 s würde „rückwärts“ gefahren).
vM(10 s) = 20 − 30 = −10 m/s – also 36 km/h in negative Richtung.
j) Nach welcher Zeit und an welcher Position begegnen sich Auto und Motorrad?
Begegnung: sA(t) = sM(t).
0,75t² + 15t + 100 = t² − 30t + 200 ⇒ 0 = 0,25t² − 45t + 100
0,25t² − 45t + 100 = 0 | · 4 ⇒ t² − 180t + 400 = 0
t1,2 = (180 ± √(32400 − 1600))/2 = (180 ± 175,50)/2 ⇒ t1 ≈ 2,25 s (t₂ ≈ 177,7 s ist nicht sinnvoll – da steht das Motorrad längst)
sA(2,25 s) = 0,75 · 5,06 + 15 · 2,25 + 100 ≈ 137,6 m (Kontrolle: sM(2,25 s) = 5,06 − 67,5 + 200 ≈ 137,6 m ✓)
t1,2 = (180 ± √(32400 − 1600))/2 = (180 ± 175,50)/2 ⇒ t1 ≈ 2,25 s (t₂ ≈ 177,7 s ist nicht sinnvoll – da steht das Motorrad längst)
sA(2,25 s) = 0,75 · 5,06 + 15 · 2,25 + 100 ≈ 137,6 m (Kontrolle: sM(2,25 s) = 5,06 − 67,5 + 200 ≈ 137,6 m ✓)