Aufgabe 7.2
Auto und Motorrad II
Ein Auto wird zu Beobachtungsbeginn (t = 0) an einem Tempolimit-Schild beobachtet, das 100 m nördlich des Ortsausgangsschildes steht. Es fährt mit 90 km/h nach Norden und bremst mit einer konstanten Verzögerung von 1 m/s². Ein Motorrad befindet sich bei t = 0 40 m südlich des Ortsausgangsschildes und fährt mit 54 km/h ebenfalls nach Norden, wobei es konstant mit 2 m/s² beschleunigt. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt am Ortsausgangsschild, positiv ist die Richtung Norden (nach oben). Nimm an, dass beide Fahrzeuge ihre Beschleunigung auch schon vor Beobachtungsbeginn hatten – das Motorrad seit dem Anfahren aus dem Stand.
a) Bestimme die Bewegungsgleichungen v(t) und s(t) des Autos und des Motorrads bezüglich des angegebenen Koordinatensystems.
Geschwindigkeiten in m/s: 90 km/h = 25 m/s, 54 km/h = 15 m/s. Welche Pfeile zeigen nach Süden?
Auto: s0 = +100 m, v0 = +25 m/s, a = −1 m/s² (bremst, Pfeil nach Süden)
vA(t) = −1 m/s² · t + 25 m/s, sA(t) = −0,5 m/s² · t² + 25 m/s · t + 100 m
Motorrad: s0 = −40 m (südlich des Ursprungs), v0 = +15 m/s, a = +2 m/s²
vM(t) = 2 m/s² · t + 15 m/s, sM(t) = 1 m/s² · t² + 15 m/s · t − 40 m
vA(t) = −1 m/s² · t + 25 m/s, sA(t) = −0,5 m/s² · t² + 25 m/s · t + 100 m
Motorrad: s0 = −40 m (südlich des Ursprungs), v0 = +15 m/s, a = +2 m/s²
vM(t) = 2 m/s² · t + 15 m/s, sM(t) = 1 m/s² · t² + 15 m/s · t − 40 m
b) Zeichne die Bewegung des Autos und des Motorrads in das s(t)-Diagramm ein (von t = −10 s bis t = 14 s).
Berechne eine Wertetabelle, z. B. für t = −10, −6, −2, 0, 2, 6, 10, 14 s. Denk daran: Vor dem Anfahren stand das Motorrad still (siehe e).
Beide Graphen sind Parabeln: die des Autos nach unten geöffnet (a < 0), die des Motorrads nach oben geöffnet (a > 0). Vor seinem Anfahren bei t = −7,5 s stand das Motorrad bei −96,25 m (waagrechte Linie). Rote Punkte: Ampel, Baum, Ortsschild, Haus (Teil c und d); Kreise: Begegnungen (Teil g).
c) Wie lange dauert es, bis das Auto die Ampel (240 m nördlich des Ortsausgangsschildes) überquert bzw. den Baum (320 m) erreicht?
Setze sA(t) = 240 m bzw. 320 m. Multipliziere die quadratische Gleichung mit −2, damit vor t² eine 1 steht.
Ampel: t² − 50t + 280 = 0; Baum: t² − 50t + 440 = 0. Die kleinere Lösung ist die gesuchte (bei der größeren stünde das Auto längst – es steht nach 25 s).
Ampel: −0,5t² + 25t + 100 = 240 ⇒ t² − 50t + 280 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 − 1120))/2 = (50 − 37,15)/2 ≈ 6,43 s
Baum: t² − 50t + 440 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 − 1760))/2 = (50 − 27,20)/2 ≈ 11,40 s
Die zweiten Lösungen (≈ 43,6 s bzw. 38,6 s) liegen nach dem Stillstand bei t = 25 s und sind nicht sinnvoll.
Baum: t² − 50t + 440 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 − 1760))/2 = (50 − 27,20)/2 ≈ 11,40 s
Die zweiten Lösungen (≈ 43,6 s bzw. 38,6 s) liegen nach dem Stillstand bei t = 25 s und sind nicht sinnvoll.
d) Wie viele Sekunden vor Beobachtungsbeginn passierte das Auto das Ortsausgangsschild bzw. das 80 m davor liegende Haus?
Jetzt sind negative Zeiten gesucht. Ortsschild: sA(t) = 0; Haus: sA(t) = −80 m.
Ortsschild: −0,5t² + 25t + 100 = 0 ⇒ t² − 50t − 200 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 + 800))/2 = (50 − 57,45)/2 ≈ −3,72 s ⇒ 3,72 s vorher
Haus: t² − 50t − 360 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 + 1440))/2 = (50 − 62,77)/2 ≈ −6,38 s ⇒ 6,38 s vorher
Da das Auto vorher schneller war, braucht es für die 80 m vom Haus zum Schild weniger Zeit als für die 100 m vom Schild zum Tempolimit.
Haus: t² − 50t − 360 = 0 ⇒ t = (50 − √(2500 + 1440))/2 = (50 − 62,77)/2 ≈ −6,38 s ⇒ 6,38 s vorher
Da das Auto vorher schneller war, braucht es für die 80 m vom Haus zum Schild weniger Zeit als für die 100 m vom Schild zum Tempolimit.
e) An welcher Stelle ist das Motorrad angefahren? An welcher Position war das Auto zu dieser Zeit?
Beim Anfahren war die Geschwindigkeit des Motorrads null: vM(t) = 0.
2t + 15 = 0 ⇒ t = −7,5 s
sM(−7,5 s) = 56,25 − 112,5 − 40 = −96,25 m (also gut 96 m südlich des Ortsausgangsschildes, noch hinter dem Haus)
sA(−7,5 s) = −0,5 · 56,25 − 187,5 + 100 ≈ −115,6 m
sM(−7,5 s) = 56,25 − 112,5 − 40 = −96,25 m (also gut 96 m südlich des Ortsausgangsschildes, noch hinter dem Haus)
sA(−7,5 s) = −0,5 · 56,25 − 187,5 + 100 ≈ −115,6 m
f) Zu welcher Zeit haben beide Fahrzeuge dieselbe Geschwindigkeit?
vA(t) = vM(t) – eine lineare Gleichung.
−t + 25 = 2t + 15 ⇒ 10 = 3t ⇒ t ≈ 3,33 s (beide fahren dann mit ≈ 21,7 m/s)
g) Bestimme die Positionen, an denen Auto und Motorrad gleichauf sind.
sA(t) = sM(t) ⇒ 1,5t² − 10t − 140 = 0
Beide Lösungen sind sinnvoll – prüfe für die negative Zeit, ob das Motorrad da schon angefahren war.
−0,5t² + 25t + 100 = t² + 15t − 40 ⇒ 1,5t² − 10t − 140 = 0
t1,2 = (10 ± √(100 + 840))/3 = (10 ± 30,66)/3 ⇒ t1 ≈ 13,55 s, t2 ≈ −6,89 s
• t ≈ −6,89 s (nach dem Anfahren bei −7,5 s): s ≈ −95,9 m – hier überholt das schnellere Auto das gerade anfahrende Motorrad.
• t ≈ 13,55 s: s ≈ 347 m – hier holt das Motorrad das bremsende Auto wieder ein.
t1,2 = (10 ± √(100 + 840))/3 = (10 ± 30,66)/3 ⇒ t1 ≈ 13,55 s, t2 ≈ −6,89 s
• t ≈ −6,89 s (nach dem Anfahren bei −7,5 s): s ≈ −95,9 m – hier überholt das schnellere Auto das gerade anfahrende Motorrad.
• t ≈ 13,55 s: s ≈ 347 m – hier holt das Motorrad das bremsende Auto wieder ein.