Aufgabe 5.3
Auffahrt auf die Autobahn
Ein Auto fährt mit 60 km/h auf den Beschleunigungsstreifen einer Autobahnauffahrt. Am Ende des 250 m langen Streifens will es mit 120 km/h auf die rechte Spur wechseln. Nimm eine konstante Beschleunigung an.
a) Mit welcher Beschleunigung muss das Auto mindestens beschleunigen?
Die Zeit ist nicht gegeben – verwende die zeitfreie Gleichung v² − v0² = 2 · a · Δs.
60 km/h ≈ 16,67 m/s, 120 km/h ≈ 33,33 m/s.
a = (v² − v0²)/(2 · Δs) = ((33,33 m/s)² − (16,67 m/s)²) / (2 · 250 m) = (1111,1 − 277,8) m²/s² / 500 m ≈ 1,67 m/s²
Das schafft jedes normale Auto (vgl. Tabelle in Lerneinheit 1: Mittelklassewagen ≈ 2,8 m/s²).
Das schafft jedes normale Auto (vgl. Tabelle in Lerneinheit 1: Mittelklassewagen ≈ 2,8 m/s²).
b) Wie lange dauert die Fahrt über den Beschleunigungsstreifen?
t = (v − v0)/a – oder über die Trapezformel Δs = (v0 + v)/2 · t.
t = (33,33 − 16,67) m/s / 1,667 m/s² = 10 s
Kontrolle mit der Trapezformel: t = 2 · Δs/(v0 + v) = 500 m / 50 m/s = 10 s ✓
Kontrolle mit der Trapezformel: t = 2 · Δs/(v0 + v) = 500 m / 50 m/s = 10 s ✓
c) Welche Geschwindigkeit (in km/h) hat das Auto nach der Hälfte des Streifens (125 m)?
v = √(v0² + 2 · a · Δs) mit Δs = 125 m. Es sind nicht 90 km/h!
v = √((16,67 m/s)² + 2 · 1,667 m/s² · 125 m) = √(277,8 + 416,7) m/s = √694,4 m/s ≈ 26,35 m/s ≈ 94,9 km/h
Nach der halben Strecke ist das Auto schon schneller als der Mittelwert 90 km/h – auf der ersten Hälfte ist es langsamer unterwegs und braucht dafür mehr Zeit.
Nach der halben Strecke ist das Auto schon schneller als der Mittelwert 90 km/h – auf der ersten Hälfte ist es langsamer unterwegs und braucht dafür mehr Zeit.