Aufgabe 5.2
Hochgeschwindigkeitszug
Ein Hochgeschwindigkeitszug fährt zunächst mit 80 km/h. Zum Zeitpunkt t = 20 s nach Beobachtungsbeginn beginnt er, seine Geschwindigkeit mit der konstanten Beschleunigung a = 1,25 m/s² auf die Höchstgeschwindigkeit von 350 km/h zu erhöhen.
a) Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang?
Geschwindigkeiten in m/s umrechnen; Δt = Δv/a.
v0 = 80 : 3,6 m/s ≈ 22,22 m/s, v = 350 : 3,6 m/s ≈ 97,22 m/s
Δt = (97,22 m/s − 22,22 m/s)/1,25 m/s² = 75 m/s / 1,25 m/s² = 60 s
Δt = (97,22 m/s − 22,22 m/s)/1,25 m/s² = 75 m/s / 1,25 m/s² = 60 s
b) Skizziere den Verlauf der Geschwindigkeit in einem v(t)-Diagramm (0 bis 100 s), markiere die während der Beschleunigungsphase zurückgelegte Strecke und berechne sie.
Die Strecke ist die Trapezfläche unter der schrägen Geraden zwischen t = 20 s und t = 80 s.
Δs = ½ · a · Δt² + v0 · Δt – mit der Dauer Δt = 60 s der Beschleunigung, nicht mit 80 s!
Δs = ½ · 1,25 m/s² · (60 s)² + 22,22 m/s · 60 s = 2250 m + 1333,3 m ≈ 3583 m
oder als Trapez: (22,22 + 97,22)/2 m/s · 60 s ≈ 3583 m ✓
oder als Trapez: (22,22 + 97,22)/2 m/s · 60 s ≈ 3583 m ✓
c) Welche Strecke legt der Zug in den gesamten ersten 100 s nach Beobachtungsbeginn zurück?
Drei Abschnitte: 0–20 s mit 80 km/h, 20–80 s beschleunigt (Teil b), 80–100 s mit 350 km/h.
0–20 s: 22,22 m/s · 20 s ≈ 444,4 m
20–80 s: 3583,3 m
80–100 s: 97,22 m/s · 20 s ≈ 1944,4 m
Summe: s ≈ 5972 m (knapp 6 km)
20–80 s: 3583,3 m
80–100 s: 97,22 m/s · 20 s ≈ 1944,4 m
Summe: s ≈ 5972 m (knapp 6 km)