Beschreibung von Bewegungen in Koordinatensystemen

Aufgabe 4.1

Das Diagramm zeigt die zeitliche Positionsänderung dreier Fahrzeuge auf einer geraden Straße. Die Positionen beziehen sich auf das eingezeichnete Koordinatensystem (Ursprung am Ortsschild). Das linke Bild zeigt eine Momentaufnahme zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Beobachtung wird nach 45 s abgebrochen.

Momentaufnahme

a) Interpretiere die Bewegung des Fahrzeugs (3) im Vergleich zu den Fahrzeugen (1) und (2).

Achte auf das Vorzeichen der Steigung.

Die Geraden (1) und (2) steigen: Diese Fahrzeuge fahren in positive Koordinatenrichtung (vom Ortsschild weg). Gerade (3) fällt: Fahrzeug (3) fährt in entgegengesetzte Richtung – es kommt den anderen entgegen (Gegenverkehr).

b) Ermittle die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge. Begründe, warum es sich jeweils um Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit handelt.

Lies für jede Gerade die Position bei t = 0 s und bei t = 45 s ab (oder andere gut ablesbare Punkte).

Gerade (3) fällt – ihre Geschwindigkeit ist negativ!

v₁ = (1550 m − 200 m)/45 s = 30 m/s (108 km/h)
v₂ = (1750 m − 1300 m)/45 s = 10 m/s (36 km/h)
v₃ = (1300 m − 2200 m)/45 s = −20 m/s (72 km/h in Gegenrichtung)
Alle Graphen sind Geraden, haben also eine konstante Steigung ⇒ konstante Geschwindigkeit.

c) Ordne den Fahrzeugen in der Momentaufnahme sinnvoll die Kurven (1), (2), (3) zu und begründe. Grenze den Zeitraum ein, in dem die Momentaufnahme entstand.

Welches Fahrzeug fährt auf der Gegenfahrbahn (in negative Richtung)?

Betrachte die Reihenfolge in der Momentaufnahme (von unten nach oben): LKW – Auto – Motorrad. In welchem Zeitraum liegen die Geraden im Diagramm in genau dieser Reihenfolge übereinander?

Das Auto fährt auf der Gegenfahrbahn ⇒ Kurve (3).
In der Aufnahme ist das Auto bereits am Motorrad vorbei, aber noch nicht am LKW. Im Diagramm schneidet (3) die Gerade (2) bei 30 s und die Gerade (1) bei 40 s. Zwischen 30 s und 40 s ist die Reihenfolge (1) < (3) < (2). Also: LKW = (1) (unten), Motorrad = (2) (oben).
Die Positionen passen z. B. zu t ≈ 38 s: s₁ ≈ 1340 m (LKW-Front), s₃ ≈ 1440 m (Auto), s₂ ≈ 1680 m (Motorrad).

d) Erläutere die physikalische Bedeutung der Schnittpunkte der Kurven (2) und (3) bei t = 30 s sowie (1) und (3) bei t = 40 s.

Ein Schnittpunkt bedeutet: gleiche Position zur gleichen Zeit. Bei t = 30 s begegnen sich Fahrzeug (2) und (3) an der Position 1600 m, bei t = 40 s begegnen sich Fahrzeug (1) und (3) bei 1400 m (sie fahren aneinander vorbei, da (3) auf der Gegenfahrbahn fährt).

e) Nach wie vielen Sekunden sind Fahrzeug (1) und (2) an gleicher Position, wenn alle Fahrzeuge ihre Geschwindigkeit beibehalten?

Verlängere die Geraden (1) und (2) über 45 s hinaus und suche ihren Schnittpunkt.

Geraden verlängert: Schnittpunkt bei t = 55 s und s = 1850 m. Rechnerisch: 30t + 200 = 10t + 1300 ⇒ 20t = 1100 ⇒ t = 55 s.

f) Stelle die Bewegungsgleichungen s₁(t), s₂(t), s₃(t) auf und berechne damit die Positionen für t = 20 s. Überprüfe am Diagramm.

Form: s(t) = v · t + s₀. v aus Teil b), s₀ ist die Position bei t = 0.

s₁(t) = 30 m/s · t + 200 m ⇒ s₁(20 s) = 800 m
s₂(t) = 10 m/s · t + 1300 m ⇒ s₂(20 s) = 1500 m
s₃(t) = −20 m/s · t + 2200 m ⇒ s₃(20 s) = 1800 m
Diese Werte stimmen mit dem Diagramm überein.

g) Berechne mit s₁(t) und s₃(t) den Zeitpunkt und die Position, an dem Fahrzeug (1) und (3) gleichauf sind.

Setze s₁(t) = s₃(t) und löse nach t auf.

30t + 200 = −20t + 2200 ⇒ 50t = 2000 ⇒ t = 40 s
s₁(40 s) = 30 · 40 + 200 = 1400 m

Zusatzaufgaben

Ein Polizeiauto befindet sich bei t = 0 an der Position s = 100 m und erhält den Auftrag, Fahrzeug (2) zu verfolgen. Es fährt zunächst 20 s mit konstanter Geschwindigkeit, bis es 50 m hinter Fahrzeug (1) ist. Dann setzt es mit erhöhter Geschwindigkeit zum Überholen an und behält diese weitere 20 s bei, bis es sich 40 m vor Fahrzeug (2) setzen kann. Anschließend fährt es mit der Geschwindigkeit von Fahrzeug (2) weiter. (Beschleunigungszeiten werden vernachlässigt.)

h) Zeichne die Bewegung des Polizeiautos ins s(t)-Diagramm ein und ermittle die Geschwindigkeit vor und während des Überholens von Fahrzeug (1).

Wo ist Fahrzeug (1) bei t = 20 s? Das Polizeiauto ist 50 m dahinter.

Wo ist Fahrzeug (2) bei t = 40 s? Das Polizeiauto ist dann 40 m davor.

t = 20 s: Fahrzeug (1) bei 800 m ⇒ Polizei bei 750 m: v = (750 m − 100 m)/20 s = 32,5 m/s (117 km/h).
t = 40 s: Fahrzeug (2) bei 1700 m ⇒ Polizei bei 1740 m: v = (1740 m − 750 m)/20 s = 49,5 m/s (≈ 178 km/h).

i) Wie viele Sekunden nach Beginn des Überholens sind Fahrzeug (1) und das Polizeiauto gleichauf?

Der Abstand beträgt 50 m, das Polizeiauto ist um 49,5 − 30 = 19,5 m/s schneller.

Mit τ = Zeit seit Überholbeginn: 750 + 49,5τ = 800 + 30τ ⇒ 19,5τ = 50 ⇒ τ ≈ 2,6 s

j) Wie schnell hätte das Polizeiauto während des Überholens besser nicht fahren sollen, da es sonst zwischen Fahrzeug (2) und (3) „eingeklemmt“ worden wäre?

Fahrzeug (2) und (3) begegnen sich bei t = 30 s an der Position 1600 m. Wäre das Polizeiauto zu diesem Zeitpunkt genau dort, würde es eingeklemmt.

Das Polizeiauto darf nicht zum Zeitpunkt t = 30 s bei s = 1600 m sein (dort begegnen sich (2) und (3)): v = (1600 m − 750 m)/(30 s − 20 s) = 85 m/s (306 km/h).

k) Zeichne unter Berücksichtigung der Vorzeichen den Geschwindigkeitsverlauf der Fahrzeuge (1), (2), (3) und des Polizeiautos in ein v(t)-Diagramm (0–65 s, −30 bis 60 m/s).

l) Ermittle im v(t)-Diagramm den Flächeninhalt unter dem Geschwindigkeitsprofil des Polizeifahrzeugs im Zeitintervall 15 s < t < 25 s. Bestätige das Ergebnis mit dem s(t)-Diagramm.

Zwei Rechtecke: 15–20 s mit 32,5 m/s und 20–25 s mit 49,5 m/s.

Δs = 32,5 m/s · 5 s + 49,5 m/s · 5 s = 162,5 m + 247,5 m = 410 m
Kontrolle: s(15 s) = 100 + 32,5 · 15 = 587,5 m; s(25 s) = 750 + 49,5 · 5 = 997,5 m ⇒ Δs = 410 m ✓