Lerneinheit 2 · Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit im Zeit-Positions-Diagramm·Aufgabe 2.3·Input nachlesen
Aufgabe 2.3
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Zum Test eines neuen Motors wird ein Motorrad mit einem Fahrtenschreiber ausgestattet, der Geschwindigkeit v und Position s kontinuierlich aufzeichnet. Die Auswertung über 400 m ergab das folgende s(t)-Diagramm. Auffällig hohe Motortemperaturen traten im Abschnitt von der 120-m-Marke bis zur 320-m-Marke auf.
s(t)-Diagramm der Testfahrt
a) Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen der 120-m-Marke und der 320-m-Marke.
Lies ab, zu welchen Zeiten das Motorrad bei 120 m und bei 320 m ist.
120 m bei ca. 5 s, 320 m bei ca. 16 s.
v̄ = (320 m − 120 m) / (16 s − 5 s) = 200 m / 11 s ≈ 18 m/s (≈ 65 km/h). Das ist die Steigung der roten Sekante:
rot: Sekante (Durchschnittsgeschwindigkeit) · grün: Tangente bei der 120-m-Marke mit Steigungsdreieck
b) Wie ändert sich (qualitativ) die mittlere Geschwindigkeit, wenn sie ab der 120-m-Marke nur bis zur 280-m-Marke bzw. bis zur 340-m-Marke ermittelt wird?
Zeichne gedanklich die neuen Sekanten ein: Wird die Sekante steiler oder flacher als die bis 320 m?
Bis 280 m (bei ca. 12 s): v̄ ≈ 160 m / 7 s ≈ 23 m/s → größer (steilere Sekante, der langsame Abschnitt fehlt).
Bis 340 m (bei ca. 18,5 s): v̄ ≈ 220 m / 13,5 s ≈ 16 m/s → kleiner (der sehr langsame Abschnitt von 16–18 s kommt hinzu).
c) Erläutere Schritt für Schritt, wie man die Momentangeschwindigkeit bei der 120-m-Marke bestimmt, und ermittle sie grafisch.
Momentangeschwindigkeit = Steigung der Tangente im betreffenden Punkt.
Die Kurve ist bei 120 m (t ≈ 5 s) sehr steil. Lege das Lineal so an, dass es die Kurve dort nur berührt, und zeichne ein möglichst großes Steigungsdreieck.
1. Punkt auf der Kurve bei s = 120 m markieren (t ≈ 5 s).
2. Tangente anlegen: Gerade, die die Kurve in diesem Punkt nur berührt.
3. Steigungsdreieck an der Tangente einzeichnen, Δt und Δs ablesen.
4. v = Δs/Δt berechnen: z. B. Δs ≈ 70 m für Δt = 1 s ⇒ v ≈ 70 m/s (grüne Tangente in der Abbildung bei a). Wegen der starken Krümmung sind Ablesewerte zwischen ca. 55 und 80 m/s vertretbar.
d) Skizziere den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit im gesamten Zeitintervall.
Skizziere das v(t)-Diagramm auf Papier: Wo ist die Kurve steil (v groß), wo flach (v klein)?
Gehe die s(t)-Kurve von links nach rechts durch und schätze an jeder Stelle die Steigung ab.
Die Geschwindigkeit steigt bis ca. 5 s auf ein Maximum (ca. 70 m/s), fällt dann stark ab, nimmt bis ca. 16 s langsam weiter ab (auf nur wenige m/s) und steigt ab ca. 18 s wieder steil an.
Die Position lässt sich zwischen der 120-m- und der 320-m-Marke näherungsweise durch die Funktion s(t) = −1,7 · t² + 54 · t − 108 beschreiben (t in s, s in m).
e) Zeige, dass für die mittlere Geschwindigkeit zwischen t und t + Δt gilt: v̄(t, Δt) = −3,4 · t − 1,7 · Δt + 54.
Setze in v̄ = [s(t + Δt) − s(t)] / Δt ein und multipliziere (t + Δt)² aus.
(t + Δt)² = t² + 2·t·Δt + Δt². Viele Terme heben sich weg, danach durch Δt kürzen.
f) Ermittle die Funktion der Momentangeschwindigkeit v(t). Trage die Koeffizienten ein: v(t) = a · t + b.
Momentangeschwindigkeit: Δt → 0. Was passiert dann mit dem Term −1,7 · Δt?
v(t) = limΔt→0 (−3,4 · t − 1,7 · Δt + 54) = −3,4 · t + 54 (in m/s).
Hinweis: Die Näherungsfunktion gibt bei t ≈ 5 s nur ca. 37 m/s. Sie beschreibt den steilen Beginn bei der 120-m-Marke schlecht – dort liefert das Diagramm (Teil c) den besseren Wert.